Introduction

Place de l'optique géométrique

L'optique géométrique est une branche de l'optique, avec l'optique ondulatoire (souvent appelée optique physique) et l'optique quantique. Ces approches ne sont pas opposées, mais complémentaires. L'optique géométrique a été développée dès l'antiquité, avant de connaître la nature ondulatoire de la lumière, mise en évidence au 19e siècle avec l'expériences des fentes d'Young.

Maxwell a montré que la lumière peut être modélisée par une onde électromagnétique, qui se propage dans une direction perpendiculaire à ce champ. A cette onde est donc associé une longueur d'onde, reliée dans le visible à la couleur perçue par l'oeil. La diffraction, les interférences ou la polarisation nécessitent de prendre en compte la nature ondulatoire de la lumière. Mais beaucoup de phénomènes peuvent être interprétés en ne considérant que la direction de propagation de l'énergie de cette onde, le rayon lumineux. C'est l'approche de l'optique géométrique, qui reste l'outil le plus efficace pour traiter les systèmes dioptriques et catadioptrique tant que la résolution est très inférieure à la longueur d'onde. Elle permet notamment d'expliquer la formation des images.

Propagation de la lumière et notion de rayon lumineux

Dans le modèle ondulatoire (scalaire ou vectoriel) une onde lumineuse est une variation périodique du champ électromagnétique qui se déplace dans tout l'espace. On peut repérer le déplacement de l'onde par celui d'une "surface d'onde" (ou surface équiphase), sur laquelle le champ électromagnétique a une valeur constante. Dans le cas d'une onde progressive, ces surfaces se propagent dans la direction perpendiculaire à elles-même : cette direction est celle des rayons, qui sont donc les normales à ces surfaces d'onde (plus exactement, les rayons lumineux sont la direction de propagation de l'énergie, qui est également la direction de propagation de l'onde électromagnétique dans un milieu homogène et isotrope).

Ainsi :

• Un rayon lumineux est donc un être théorique : il n'a pas d'existence physique. Il sert de modèle de base à l'optique géométrique où tout faisceau de lumière est représenté par un ensemble de rayons lumineux.
• Si la surface d'onde est un plan (onde plane), tous les rayons sont parallèles entre eux : on parle de faisceau parallèle.
• Si la surface d'onde est un morceau de sphère (onde sphérique), tous les rayons se dirigent vers un point, ou semblent provenir d'un point : on a un faisceau qui converge en un point, ou qui diverge à partir d'un point.
• Plus généralement, lorsque la surface d'onde est concave ou convexe, le faisceau est convergent ou divergent. Un faisceau ne sera convergent que dans un domaine de l'espace déterminé par la zone de convergence. Lorsqu'un faisceau converge, après cette zone il est divergent. Si on considère un faisceau se propageant en sens inverse (voir plus loin le principe du retour inverse de la lumière), les domaines de convergence et de divergence sont donc inversés.

La célérité de la lumière dans le vide est notée c et sa valeur est de 299 792 458 m/s (fixée par décret et 1983). Dans un milieu matériel, la vitesse de l'onde lumineuse est plus faible que dans le vide. On définit l'indice du milieu par la quantité n = c/v où v est la célérité de la lumière dans le milieu. La vitesse de la lumière étant toujours inférieure à celle de sa propagation dans le vide, n est supérieur à 1.

Quelques remarques à propos des représentations graphiques

Les rayons que l'on dessine sont en général ceux qui correspondent à la lumière que l'on ne voit pas (en tout cas on ne la voit pas sur le côté)

Les tracés des rayons de l'optique géométrique ne remplacent pas les faisceaux. Un tracé de rayon peut être nécessaire pour déterminer la position d'une image, quand bien même ce "rayon" sort du système : il s'agit d'un rayon de construction. Réciproquement, la lumière passe évidemment par des trajets qui ne correspondent pas à des rayons de construction...

Définitions et lois fondamentales de l'optique géométrique

L'optique géométrique consiste à étudier la manière dont la lumière se propage : les raisonnements ne portent donc que sur les rayons.

L'optique géométrique repose sur deux lois fondamentales :

• Propagation rectiligne de la lumière : dans un milieu transparent, homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite : les rayons sont des droites.
• Principe du retour inverse de la lumière : si la lumière suit un trajet quelconque d'un point A à un point B (y compris dans un système optique), alors la lumière peut suivre exactement le trajet inverse de B vers A. Autrement dit, le sens de parcours ne change pas la direction de propagation.

On appelle dioptre la surface séparant deux milieux transparents. Si les rayons se propagent en ligne droite dans un milieu homogène et isotrope, ils sont déviés lors du passage d'un dioptre ou à la rencontre d'une surface réfléchissante. Le changement de direction aux interfaces est décrit par les lois de Snell-Descartes.

Lois de Snell-Descartes

On considère un rayon se propageant dans un milieu homogène et isotrope d'indice de réfraction n₁, et arrivant sur une surface (dioptre ou surface réfléchissante). Le plan d'incidence est le plan qui contient le rayon incident et la normale à la surface au point d'incidence. L'angle d'incidence est l'angle entre le rayon et la normale à la surface.

Si le rayon lumineux arrive sur une surface réfléchissante, il est dévié. Le rayon réfléchi reste dans le plan d'incidence mais son sens de propagation est inversé, et sa direction de propagation est telle que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence. Ce phénomène est connu depuis les travaux de Ptolemé, Alhazen ou Kepler, de même que la déviation au passage d'un dioptre.

Lorsque le rayon lumineux traverse une surface séparant le milieu d'incidence d'un autre milieu d'indice de réfraction n₂, le rayon dans le second milieu n'est pas dans le prolongement du rayon incident (sauf pour une incidence normale) : on parle alors de rayon réfracté. Snell et Descartes, chacun de leur côté, ont montré que dans le cas où les deux milieux sont homogènes et isotropes, la réflexion suivait une loi simple, identique à celle de la réflexion sur une surface réfléchissante, mais la réfraction suivait une loi en sinus.

Au niveau d'un dioptre plan :

1. Les rayons lumineux réfléchis sont dans le plan d'incidence, et tels que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.
2. Les rayons lumineux transmis sont dans le plan d'incidence, et tels que l'angle de réfraction est lié à l'angle d'incidence par la formule n₁sin(θ₁)=n₂sin(θ₂), où n₁ est l'indice du milieu d'incidence, n₂ celui du milieu de réfraction, θ₁ l'angle d'incidence et θ₂ l'angle de réfraction.

Remarque : les deux phénomènes, réflexion et réfraction peuvent être interprétés avec un modèle ondulatoire de la lumière. De plus, l'indice dépend généralement de la longueur d'onde de la lumière incidente et la réfraction conduit alors à la dispersion d'une lumière polychromatique.

Stigmatisme et notion d'image optique

Un système est dit rigoureusement stigmatique lorsque tous les rayons issus d'un point et traversant le système convergent en un même point (point-image réel), ou semblent provenir d'un même point (point-image dit virtuel).

Le point image est dit réel s'il est situé en aval de l'élément optique par rapport au sens de propagation de la lumière. Il est dit virtuel s'il est situé en amont de de l'élément optique par rapport au sens de propagation de la lumière. Inversement, un point objet est réel s'il est situé en amont de l'élément optique par rapport au sens de propagation de la lumière et virtuel s'il est situé en aval de l'élément optique par rapport au sens de propagation de la lumière.

La propriété dite de stigmatisme est étroitement liée à la définition d'image optique. Pour un objet donné, un système optique en donne une image (au sens de l'optique géométrique) que s'il est stigmatique pour tous les points de l'objet. Dans ce cas, chaque point de l'objet à un point image et l'objet lui-même a donc une image.

Dans la pratique cette propriété n'est pas réalisable. On est amené à parler de stigmatisme approché lorsque les rayons convergent presque en un même point, c'est-à-dire lorsque la zone de convergence a une taille inférieure à la résolution et de condition d'aplanétisme permettant d'avoir une image plane d'un objet plan.

=Stigmatisme rigoureux du miroir plan

=

Dans la figure ci-contre, ont été représentés quelques rayons issus d'un objet lumineux réel et venant se réfléchir sur le miroir (que l'on schématise par un segment muni de hachure à l'arrière) selon les lois de Snell-Descartes.

Un observateur, et ce quelle que soit sa position, recevra de la lumière qui lui semble provenir d'un point symétrique de l'objet par rapport au miroir : l'image (virtuelle) que l'observateur voit.

Cette image est symétrique à l'objet par rapport au miroir et a la même taille (grandissement 1). Elle est virtuelle, car elle est située en amont du miroir si on considère le sens de propagation des rayons réfléchis.

=Stigmatisme approché du dioptre plan

=

Il est facile de vérifier avec un papier et un crayon (et une calculette) que les lois de Snell-Descartes font du dioptre plan un système non-stigmatique : les rayons issus d'un points ne se coupent pas tous au même point.

L'illustration ci-dessus montre que la lumière issue d'un point placé dans un aquarium, par exemple, donne des rayons réfractés dans l'air qui ont des directions sans point commun.

Pourtant, lorsqu'on regarde un poisson, on le voit bien ! C'est donc que l'oeil du poisson, par exemple, constitue un objet lumineux qui forme une image sur la rétine de l'oeil de l'observateur. Ceci n'est possible que parce que le faisceau de lumière est suffisament étroit pour que la tache sur la rétine apparaisse comme un point. On est bien alors dans un cas de stigmatisme approché. Si la tache est inférieure à la résolution de notre œil (distance minimale entre deux points pour que ces 2 points soient visibles), alors la vision est nette. Si la tache est plus grande, l'image est devient floue.

Systèmes centrés : image d'un objet étendu - aplanétisme

Un système optique est un ensemble de milieux transparents (l'air en général) séparés par des dioptres ou des surfaces réfléchissantes. Le système est dit dioptrique s'il ne comporte que des éléments réfringents, et catadioptrique s'il contient des surfaces réfléchissantes.

Très souvent ces éléments ont une symétrie de révolution. On parle de système centré lorsque les différents éléments ont un axe de symétrie commun, appelé axe principal du système.

Un tel système est alors défini par des éléments cardinaux - foyers et plans principaux, notamment, permettant de définir lees distances focales et de construire les images.

Un objet n'est généralement pas ponctuel : on parle alors d'objet étendu. Le stigmatisme pour un point, qu'il soit rigoureux ou approché, ne garantit pas l'obtention de l'image d'un objet quelconque. Lorsque le stigmatisme est conservé au voisinage d'un point et dans un plan perpendiculaire à l'axe optique, on dit que le système est aplanétique. L'image d'un petit objet perpendiculaire à l'axe est alors dans le plan perpendiculaire à l'axe contenant les images des points constituant l'objet.

Dioptres et miroirs courbes

Les lois de Snell-Descartes s'appliquent même lorsque les surfaces sont courbes. Pour chaque rayon, il faut considérer la normale à la surface en chaque point d'incidence. L'application des lois de la réflexion et de la réfraction permettent alors de tracer les rayons réfléchis et réfractés, donnant ainsi des informations sur la géométrie du faisceau réfléchi et du faisceau réfracté.

La figure ci-contre donne un exemple dans le cas d'un dioptre concave, où le milieu de réfraction (en bleu) est plus réfringent que le milieu d'incidence.

Le cas du dioptre sphérique est particulièrement important puisqu'il est à la base des propriétés des lentilles.

Pour les miroirs, ce sont les miroirs sphériques et les miroirs paraboliques qui sont utilisés.

Quelques applications

Association de dioptres

Les applications sont, de façon générale, les instruments d'optique. Ceux-ci sont consitués d'objets réfractant qui ont nécessairement au moins 2 faces.
On peut, d'une part, considérer l'association de deux dioptres plans non parallèles : on a alors un prisme, dont les propriétés de réfexion totale ou de dispersion en font un objet largement utilisé.
Et, d'autre part, on peut considérer l'association de 2 dioptres dont l'un (au moins) n'est pas plan : les lentilles, pour lequelles on retrouve naturellement les conditions de Gauss pour pouvoir associer une image à un objet.

Les instruments d'optique

• La loupe

La loupe est l'instrument d'optique réfractant le plus simple : elle est constituée d'une unique lentille convexe.
Son utilisation repose sur la possibilité d'obtenir une image (virtuelle) plus grande que l'objet. Ceci suppose que l'on place l'objet à une distance de la loupe légèrement plus petite que la distance focale.

• L'appareil photographique

Le principe de l'appareil photographique est également le plus simple : on utilise également une seule lentille convergente, mais cette fois, l'objet est au loin et l'on forme une image réelle que l'on recueille sur un "écran". Dans ce cas, l'image est plus petite que l'objet ! Seule particularité de cet instrument, il faut une pellicule sensible à la lumière pour "enregistrer" l'image. Aujourd'hui, les pellicules argentiques sont remplacées par des cellules CCD pour faire de la photographie numérique.

• Télescope de Newton Il s'agit d'un système afocal constitué d'un miroir sphérique de grand diamètre chargé de collecter la lumière provenant des étoiles, suivi d'une lentille de plus courte focale (l'oculaire) servant de loupe pour regarder l'image intermédiaire. L'astuce du télescope de Newton est d'interposer un petit miroir plan qui permet de placer l'oculaire à 90°.
  • Lunette astronomique

  Il s'agit d'un système afocal constitué d'une lentille de grand diamètre et de grande focale (l'objectif) chargée de collecter la lumière provenant des étoiles, suivie d'une lentille de plus courte focale (l'oculaire) servant de loupe pour regarder l'image intermédiaire.

  Remarque : la lunette astronomique donne une image "renversée". Elle n'est donc pas utilisable pour observer des objets lointains, mais terrestres. On utilise la lunette dite terrestre ou de lunette de Galilée, instrument également afocal mais utilisant une lentille divergente comme oculaire. L'image formée est alors "droite".

  • Microscope

  Le microscope optique est conçu pour obtenir une image agrandie d'un objet réel, de faible dimension et placé à distance finie. Le principe repose sur l'utilisation de 2 lentilles convergentes.

  L'objet à observer est représenter par le vecteur AB. La lentille la plus proche de l'objet à observer est appelée objectif, elle va donner une première image agrandie de l'objet. Ensuite, une seconde lentille va agrandir une deuxième fois l'image mais celle-ci sera virtuelle.

  Limites de l'optique géométrique élémentaire

  1. Aberrations : on distinguer les aberrations géométriques (ou de sphéricité) qui traduisent le non stigmatisme et les aberrations dites chromatiques qui proviennent du caractère dispersif de matériau (le foyer d'une lentille non achromatique n'est pas le même pour le bleu que pour le rouge).
  2. Diffraction et pouvoir de résolution : la limitation du faisceau de lumière est un autre facteur qui limite le pouvoir de résolution de tout instrument ; le phénomène en jeu est la diffraction, conséquence fondamentale du caractère ondulatoire de la lumière.

  Liens externes

  • Université en ligne : optique géométrique (serveur de Poitiers)
  • Université Le Mans - site de J.-J. Rousseau

  Optique géométrique

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