Moment (mécanique)

En mécanique, le terme moment peut désigner plusieurs Quantité physique souvent liées à la considération d'un mécanique du solide:

les moment de force, moment de flexion, moment de torsion et moment d'encastrement, sont des efforts.
le moment d'inertie représente la répartition des masses d'un solide autour d'un axe.
le moment cinétique est lié à la notion de quantité de mouvement
le moment dynamique est lié à la notion de quantité d'accélération.
le vecteur vitesse d'un point d'un solide, est le moment du torseur cinématique.

Moment d'une force

Prenez une planche en équilibre au bord d'un muret. Pour la déséquilibrer on peut poser une charge sur la partie en porte-à-faux. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n'est pas la même suivant qu'elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De même, on peut au même endroit, placer une charge plus grosse et constater la différence de comportement.

Le pouvoir de basculement dépend donc de l'intensité de la force, mais aussi de la position relative du point d'application et du point de rotation réelle ou virtuelle considéré.

Ces distinctions sont représentables par le modèle de moment d'une force qui est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on nommera aussi pivot.

Par rapport à un point

Définition vectorielle.

Expression vectorielle.

Le moment d'une force

\vec{F}

s'exerçant au point A par rapport au pivot P, est le vecteur noté

\vec{M}_{\vec{F}/P}

\vec{M}_{\vec{F}/P} = \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F} = \vec{F}\wedge\overrightarrow{AP}

Remarque sur la notation: il existe plusieurs variantes de notation des moments de force; certaines (comme sur l'image ci-contre) comportent des parenthèses autour du vecteur, parfois autour de l'ensemble. D'autres ajoutent même à la notation l'élément agissant et l'élément subissant l'action. Une notation plus compacte consiste à nommer la force par la même lettre que celle désignant le point d'application, ce qui rend plus rapide l'identification des cas de nullité de moments. Ce qui est important, c'est que la notation permette la définition univoque de la force (avec son point d'application connu) et la définition du point de rotation considéré.

Ce vecteur est à la fois orthogonal à $\vec{F}$ et au bipoint $\overrightarrow{AP}$ et finalement normal au plan dans lequel se déroule la rotation que peut provoquer la force, et son sens donne le sens de rotation (la rotation est positive dans le plan orienté par $\vec{M}_{\vec{F}/\Delta}$ ).

Si d est la distance du pivot P à la droite d'action, c'est à dire PH, alors sa norme se calcule par:

||\vec{M}_{\vec{F}/P}|| = ||\vec{F}|| \cdot d

La longueur d est appelée bras de levier.

Cas de nullité du moment

Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des moments de force; de par les propriétés du produit vectoriel:

la force est nulle. Il n'y a pas de force donc sans intérêt.
le bipoint $\overrightarrow{AP}$ est $\vec{O}$ . La force est donc appliquée en P.
$\vec{F}$ et $\overrightarrow{AP}$ sont colinéaires , c'est à dire parallèles; alors la droite d'action passe par P, ce qui inclut aussi le cas précédent.

Voir l'outil mathématique produit vectoriel.

Formule de transport du moment.

Lorsqu'on connait le moment d'une force en un point, il est possible de le recalculer en n'importe quel point de l'espace. Cette opération est inévitable lorsqu'on manipule les torseurs d'actions mécaniques. Cela revient à poser une rallonge au levier AP. On montre alors la relation suivante:

\vec{M}_{\vec{F}/Q} = \vec{M}_{\vec{F}/P}+\overrightarrow{QP} \wedge \vec{F}

On peut vérifier alors: $\vec{M}_{\vec{F}/P} = \vec{M}_{\vec{F}/A}+\overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}= \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}$ .

En réalité une action mécanique est modélisée par un vecteur (repésentant la force) et son point d'application. Il est possible de représenter cette action mécanique par le couple de vecteurs force et moment en un point, qui sont les éléments de réduction du torseur d'action mécanique. La relation d'équilibre liée au principe fondamental de la statique devient une somme de torseurs ; en pratique, on effectuera parallèlement la somme des forces, et la somme des moments tous exprimés au même point, d'où l'intérêt de la formule de transport des moments.

Par rapport à un axe

Lorsqu'un solide est animé d'un mouvement de rotation effectif autour d'un axe (cas d'une roue guidée par un palier) il est intéressant de ne considérer que la part utile du moment d'une force. On définit le moment de la force par rapport à l'axe

(\Delta)

par

M_{\vec{F}/\Delta} = \vec{M}_{\vec{F}/P} \cdot \vec{u} = (\overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}) \cdot \vec u = ((\overrightarrow{PA}, \vec F, \vec u))

, où

\vec{u}

est un vecteur unitaire de

(\Delta)

, et P est un point quelconque de

(\Delta)

En résumé il s'agit de la composante suivant $\vec{u}$ du moment de $\vec{F}$ calculé en P. De ce fait il s'agit d'un nombre scalaire : " $\cdot \vec{u}$ " est une opération de projection sur l'axe $\vec{u}$ . Sur le plan mécanique, c'est la seule composante (dans le cas d'une liaison parfaite au pivot) susceptible de fournir (ou consommer) une puissance. Le "reste" du moment sera subi par le palier. Cette partie complémentaire intéressera le technologue qui prendra en compte ces valeurs pour le dimensionnement du palier.

Le moment par rapport à l'axe est nul si

le moment par rapport au point est nul (cas général précédent).
la force est dans la direction de l'axe considéré.

Voir l'outil mathematique produit mixte.

Couple

Couple de forces.

Si on considère deux forces opposées $\vec{F}$ appliquée en A et $-\vec{F}$ appliquée en B, points distincts d'un même système, il est évident que leur somme est nulle. Qu'en est-il de la somme de leur moment en un point P de l'espace ?

\vec{M}_{\vec{F}/P} + \vec{M}_{-\vec{F}/P} = \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F} + \overrightarrow{PB} \wedge(- \vec{F})

\vec{M}_{\vec{F}/P} + \vec{M}_{-\vec{F}/P} = \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F} + \overrightarrow{BP} \wedge(\vec{F})

\vec{M}_{\vec{F}/P} + \vec{M}_{-\vec{F}/P} = \overrightarrow{BA} \wedge \vec{F}=\vec{C}

On remarque que le résultat est indépendant du point de pivot P considéré. Cette quantité est appelée couple. Il n'est pas besoin de précicer le point de rotation. Les deux forces constituent alors un couple de forces.

Outre les autres cas évidents, le couple est nul lorsque les deux forces ont la même droite d'action. Le couple augmente avec l'intensité commune des forces, mais aussi avec l'éloignement des points. Il est optimale lorsque $\overrightarrow{AB}$ et $\vec{F}$ sont orthogonaux.

Cas général

En réalité le couple n'existe pas intrinsèquement. Il est toujours associé à un ensemble de forces s'annullant vectoriellement mais dont les moments s'ajoutent sans s'annuller. C'est par exemple le résultat de l'action du vent sur une éolienne, ou l'action des forces éléctromagnétiques sur l'induit d'un moteur électrique.

On ne doit donc pas faire le raccourci "somme des moments = moment de la somme". Cela n'est vrai que pour un ensemble de forces appliquées au même point (mécanique du point donc). Cela montre enfin qu'une action mécanique n'est pas représentable par un seul vecteur force. La considération du point d'application est primordiale.

voir aussi: mécanique statique paragraphe: statique du solide.

Moment d'inertie

Approche empirique.

prenez un balai en main au milieu du manche. Essayer de la faire tourner comme sur la figure ci-contre. Autour de l'axe du manche (1) cela est plus facile qu'autour d'un axe transversal (2).

Cela est dû au fait que dans le deuxième cas des points sont plus éloignés de l'axe de rotation. A vitesse de rotation égale, l'énergie cinétique est plus importante: l'inertie est augmentée.

Quand on calcule l'énergie cinétique de rotation d'un solide en fonction du taux de rotation, on fait apparaître un terme lié au solide appelé moment d'inertie.

Détermination du moment d'inertie.

Considérons un objet composé de plusieurs points solidaires i de masse m_i. Cet objet tourne autour d'un axe Δ, à la vitesse ω. la distance de i à Δ est r_i.

Le calcul de l'énergie cinétique de cet objet donne:

E_c=\sum_{i} \frac{1}{2} \; m_{i} \; V_{i}^{2} = \sum_{i} \frac{1}{2} \; m_{i} \; (\omega \; r_{i})^{2} = \frac{1}{2} \; \omega^{2} \; \sum_{i}m_{i} \; r_{i}^{2}

On définit alors le moment d'inertie M_i/Δ par rapport à l'axe Δ par :

M_{i/ \Delta}=\sum_{i} r_{i}^{2} \; m_{i}

Par extension dans un solide considéré comme ensemble continu de points matériels x affectés d'une masse volumique ρ, le moment d'inertie s'écrit:

M_{i/ \Delta}=\int d(x,\Delta)^{2} \; dm=\int d(x,\Delta)^{2} \; \rho \; dV

où

d(x,Δ) est la distance entre le point x et l'axe Δ et
dV est un petit volume autour de x
dm est la masse de ce volume élémentaire

que l'on peut aussi écrire sous une forme vectorielle :

M_{i/ \Delta}=\int ||\vec{\Delta}\wedge\vec{OM} ||^{2} \; dm=\int ||\vec{\Delta}\wedge\vec{OM}||^{2} \; \rho \; dV

où

O est un point sur l'axe Δ
$\vec{\Delta}$ est un vecteur unitaire de l'axe Δ

Théorème de Huygens

Considérons l'axe Δ passant par le centre de masse de l'objet, et un axe Δ' parallèle à Δ et distant de d. En calculant comme précédemment le moment d'inertie, on retrouve la relation établie par Christiaan Huygens connue sous le nom de théorème de Huygens qui donne le moment d'inertie M_i/Δ' en fonction de M_i/Δ :

M_{i/ \Delta '}=M_{i/ \Delta}+m\cdot d^{2}

A l'énergie cinétique de rotation propre d'un corps, s'ajoute celle de "translation" circulaire du centre de masse auquel on a affecté la masse totale du solide.

Une conséquence immédiate du théorème de Huygens est qu'il est moins coûteux (en énergie) de faire tourner un corps autour d'un axe passant par le centre de masse. Les pirouettes des patineurs sur glace en sont une application: Lorsqu'ils écartent leur bras ils tournent moins vite, parce que le moment d'inertie de leurs bras augmente, donc celui de leur corps.

Utilisation des moments

En mécanique dynamique, on peut montrer que le moment des forces est la dérivée du moment cinétique par rapport au temps :

\vec{M}_{F/\Delta} = \frac{d \vec{L}}{dt}

Ceci est l'équivalent du principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) en rotation.

On peut aussi montrer que si $\vec{\omega}$ est le vecteur vitesse angulaire, c'est-à-dire le vecteur

colinéaire à l'axe de rotation Δ,
dont la norme est la vitesse angulaire
et orienté de façon que l'orientation positive d'un plan normal correspond au sens de rotation, alors :

\vec{L} = M_{i/\Delta} \cdot \vec{\omega}

Voir aussi

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