Modèle mathématique

Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en sens inverse, la traduction des résultats mathématiques obtenus en prédictions ou opérations dans le monde réel.

Généralités

Multiplicité de buts

Il n'existe jamais de modèle unique : un modèle est toujours lié à ce qu'on veut en faire. Le même objet, par exemple une souris, ne sera pas modélisable de la même façon selon qu'on s'intéresse plutôt à

ses performances de intellectuelles, ou
ses maladies et leurs soins, voire ceux d'une groupe d'animaux apparentés mais plus large (tous les mammifères dont l'Homme) ou
la façon de la dessiner de façon convaincante dans le cadre d'un jeu vidéo.

Multiplicité de modélisations

Même lorsque le but est fixé, il y a toujours plusieurs modèles possibles, qui peuvent tous être aussi valables les uns que les autres.

Dans toute modélisation il y a un choix a priori de l’espace mathématique servant à repérer l’ensemble des phénomènes. L'espace mathématique ne peut en aucun cas être identifié au réel de la physique.

Ainsi et par exemple, en physique, on peut trouver commode d'utiliser un espace tridimensionnel euclidien, ou un espace "courbe", ou un espace à 4,5, 11 ou 26 dimensions, ou un espace de Hilbert, etc. Et, en général, on peut démontrer que ces différentes représentations sont parfaitement équivalentes, mais plus ou moins adaptés à tel ou tel cas. Il est important de noter que tous ces modèles ne sont que cela : des modèles. Ils sont utiles pour traiter le réel, mais il ne faut pas les prendre pour le réel. Si un physicien affirme par exemple que "l'univers est en expansion", il faut bien comprendre qu'implicitement il indique "par rapport à mon cadre mathématique, tout ce passe comme si...". Un autre physicien peut affirmer que "l'univers n'est pas en expansion" : s'il utilise le même cadre mathématique, ils se contredisent, mais si le second utilise un autre cadre mathématique, ils peuvent être en fait parfaitement d'accord.

La même remarque s'applique à toutes les modélisations, et notamment aux modélisations économiques et comptables, qui auront des conséquences économiques et fiscales importantes : l'archétype de la modélisation économique étant le cadastre fiscal et les bases de la taxation immobilière, dont tout le monde sait bien qu'elles sont "fausses", c'est à dire qu'elle ne reflètent que très imparfaitement la valeur réelle qui est censé servir de référence.

Tout ceci sans abolir le réel : le modèle de pont peut bien affirmer que tout va bien se passer, il est possible que le pont s'écroule quand même (en sens inverse, il est douteux qu'on construise un pont si le modèle indique qu'il va s'effondrer...).

Typologie de modèle : selon le sens de la modélisation

La modélisation peut s'exercer

du modèle vers le réel : ce sont les modèles prédictifs

Ces modèles mathématiques sont utilisés pour anticiper des événements ou des situations, comme prévoir le temps avec la météo, estimer les prix potentiels des actifs financiers avec les modèles d'évaluation en finance, ou prévenir les épidémies. On parle de modèles prédictifs, dans lesquels des variables connues, dites « explicatives », vont être utilisées pour déterminer des variables inconnues, dites « à expliquer ».

du réel vers le modèle : ce sont les modèles descriptifs

Dans ce cas, les modèles servent à représenter des données historiques. On parle de modèles descriptifs. L'objectif est de rendre compte, de manière interprétable, d'une masse d'informations. L'archétype de ces modèles est la comptabilité : elle décrit de manière simplifiée les événements économiques réels en leur affectant un compte, c'est-à-dire une « étiquette » sensée les caractériser. Ces comptes sont ensuite agrégés pour présenter de manière standard la situation économique des entreprises et des pays.

Bien entendu, les deux types de modèles sont parfaitement liés : une bonne prédiction suppose au moins la prédiction de la situation passée et actuelle, c'est à dire une bonne description. Inversement, une bonne description serait parfaitement vaine si elle ne servait pas au moins de diagnostic, ou de carte, pour identifier la conduite à tenir.

Il est intéressant de noter qu'un même modèle mathématique peut se trouver applicable à de nombreuses situations, n'ayant pas forcément un rapport bien évident. Par exemple, des générateurs de paysages sont capables créer des formes réalistes d'objets aussi différents que des montagnes, des arbres, des rochers, de l'herbe, des coquillage ou des flocons de neige, avec un seul modèle général, alors même que les processus de croissance et de constructions de ses objets sont très divers. Si, au lieu de créer un nouveau modèle, on est capable de rapprocher un problème d'un ancien modèle connu, on obtient immédiatement une masse de données très utile. Une grande partie du travail est donc de reconnaitre qu'un modèle connu s'applique, ou à étendre les propriétés connues d'une classe particulièrement utile de modèle (propriété qu'on pourra ensuite utiliser plus largement).

Les qualités d'un modèle

En préliminaire, il est important de comprendre que la complexité mathématique n'est pas un critère suffisant pour juger si un modèle est pertinent ou non : il existe des classes de modèles qui font appel à des outils mathématiques complexes, tels la recherche opérationnelle ou la théorie des jeux ; d'autres classes, la comptabilité par exemple, sont d'un abord mathématique enfantin (additions, soustractions). Mais, à résultat comparable, c'est bien sur le modèle le plus simple qui est préférable.

Un modèle est pertinent

s'il couvre bien le champ du problème réel

Ex. un modèle financier qui n'intégrerait pas le phénomène du troc ne serait pas utilisable pour évaluer les entreprises de l'ex-Europe de l'Est.

s'il permet d'obtenir le résultat escompté : description du phénomène avec le niveau de détail ou de synthèse souhaité, ou prévisions se révélant justes a posteriori.

dans le délai souhaité

On pense à la boutade qui promet des prévisions météo précises à une semaine mais qui demandent un mois de calcul.

accessoirement, s'il est réutilisable

L'investissement pour décrire un modèle est en général si important qu'il se justifie rarement sur une opération unique.

Comment créer un modèle ?

Il n'est pas question dans un article si court de présenter une méthodologie applicable à toutes les situations (s'il en existe une !), mais quelques points essentiels.

1. Le point de départ est toujours une question qu'on se pose sur une situation future et/ou si complexe qu'on n'y trouve pas la réponse de manière évidente.

Ex. : mon entreprise est-elle viable ? Ce matériel vaut-il le prix demandé ? Ce médicament est-il efficace ? Que faut-il faire pour que la situation s'améliore ?

2. Pour trouver la réponse, il est nécessaire de limiter le champ du problème en recherchant les données qu'on imagine avoir un lien direct avec la question. Trop limiter fait courir le risque de ne pas modéliser un phénomène qui a du poids dans le contexte, mais trop ouvrir entraîne une dispersion des moyens et une accumulation de données non pertinentes qu'il faudra écarter en justifiant les choix. Cette étape est la plus délicate pour la qualité du modèle : elle est soumise aux a priori du modélisateur, à ses manques de connaissances — parfois de méthode — et aux moyens dont il dispose (temps, argent, accès aux données). Au cours de cette étape, on choisit le type de modèle général qu'on va utiliser, notamment en fonction des données dont on pense disposer.

3. Il faut ensuite construire le modèle :

- filtrer les données afin d'en extraire les « bruits », ces irrégularités ou ces événements accessoires qui masquent l'essentiel ;
- éventuellement, reconstituer les manquants, c'est-à-dire les objets qui manquent pour assurer la cohérence de l'ensemble (ex. le fonctionnement d'un paramètre dont on connaît l'existence mais sur lequel on ne dispose pas de données)

C'est là qu'interviennent les outils mathématiques et informatiques, qui permettent un filtrage et une construction avec un minimum de subjectivité en un minimum de temps.

4. Le « substrat » restant constitue le modèle, ensemble de règles ou d'équations. Il faut décrire ces règles le plus complètement possible : leur importance relative, les données en entrée et en sortie, les outils mathématiques utilisés, les étapes par lesquelles il faut passer, les points de contrôle.

5. La dernière étape consiste à valider le modèle : en appliquant aux données filtrées les règles du modèle, retrouve-t-on la situation initiale ? Si l'écart est trop important, il est nécessaire de se reposer la question des limites que l'on a fixées, ou de la pertinence des outils utilisés pour la modélisation.

Les outils mathématiques les plus courants

Il s'agit essentiellement d'outils statistiques et de probabilités. Plus précisément,

Pour les modèles prédictifs :
- la projection, qui consiste à prédire la valeur d'une grandeur numérique continue à partir des valeurs passées, par exemple en utilisant les méthodes de régression (linéaire ou non) ;

Pour tous les modèles :
- la classification, ou catégorisation, qui permet de situer une observation (événement ou individu) dans un nombre réduit de classes prédéfinies.
- la représentation graphique, qui donne une image visuelle ;
- l'utilisation des variables centrées, où une variable est sensée représenter toutes les autres (ex. la moyenne) ;
- la corrélation, qui permet d'associer plusieurs variables quand elles ont un comportement commun ;
- la clusterisation, qui consiste à présenter les observations par paquets les plus homogènes possibles (les clusters) ;
- la réduction de dimensionalité, qui consiste à créer, à partir d'un ensemble d'observations, un ensemble réduit d'observations (c'est-à-dire moins nombreuses) qui est réputé se comporter comme la population initiale.

Recherche scientifique | Mathématiques appliquées à d'autres disciplines