La mécanique des milieux continus est le domaine de la physique (mécanique) qui s'intéresse à la déformation des solides et à l'écoulement des fluides — ce dernier point fait l'objet de l'article mécanique des fluides, nous nous intéresserons donc ici essentiellement à la déformation des solides. width=450 Mécanique des milieux continus Déformation élastique ou Résistance des matériaux Elasticité Plasticité Rhéologie Mécanique des fluides Fluides non-newtoniens Fluides newtoniens

Le milieu continu

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Si l'on regarde la matière de « très près » (échelle nanoscopique), la matière est granulaire, faite d'atomes. Mais à l'œil nu (donc en se plaçant à notre échelle), un objet solide semble continu, c'est-à-dire que ses propriétés semblent varier progressivement, sans à-coups.

L'hypothèse des milieux continus consiste à considérer des milieux dont les propriétés caractéristiques, c'est-à-dire celles qui nous intéressent — densité, élasticité, etc. — sont continues. Une telle hypothèse permet d'avoir recours aux outils mathématiques reposant sur les fonctions continues et/ou dérivables.

Des hypothèses supplémentaires peuvent éventuellement être faites ; ainsi un milieu continu peut être :

• homogène : ses propriétés sont les mêmes en tout point.
• isotrope : ses propriétés ne dépendent pas du repère dans lequel elles sont observées ou mesurées.

La plupart des matériaux utilisés dans l'industrie sont à la fois homogènes et isotropes (acier, aluminium, etc.). Cependant, l'utilisation de plus en plus fréquentes des matériaux composites a amené à étudier les milieux qui ne sont ni homogènes (sandwiches), ni isotropes (fibres de verre, de carbone ou de kevlar maintenues dans une résine) mais pour lesquels l'hypothèse de continuité reste valable.

Descriptions des milieux continus

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Pour décrire le milieu on se donne les outils suivants :

Représentation lagrangienne

En représentation lagrangienne, les fonctions décrivant les grandeurs dépendent des variables suivantes :

• La particule considérée (ou sa position $M\_0$ à un temps de référence $t\_0$
• Le temps

Si $X$ est un champ lagrangien, alors on a :

$X=X(M\_0,t)=X(x\_0,y\_0,z\_0,t)$

La représentation lagrangienne suit chaque particule.

Représentation eulérienne

En représentation eulérienne, les fonctions décrivant les grandeurs dépendent des variables suivantes :

• Le point géométrique considéré
• Le temps

Si $X$ est un champ eulérien, alors on a :

$X=X(M,t)=X(x,y,z,t)$

Le champ eulérien donne la valeur de la grandeur considérée portée par la particule qui au temps $t$ occupe le point $M$.

Utilisation des deux représentations

La représentation lagrangienne est souvent plus intuitive au départ, mais elle présente de nombreux défauts :

• Un champ lagrangien est difficilement stationnaire
• Il est parfois difficile de suivre une particule

La représentation eulérienne est peut-être moins intuitive, mais elle à un avantage majeur :

• Simplicité de la description (par exemple d'un écoulement autour d'un solide)

En description eulérienne il y a cependant un inconvénient : pour appliquer les théorèmes de la mécanique, il faut considérer un sytème fermé, or le champ eulérien donne les grandeurs en un point géométrique (donc les particules en ce point changent au cours du temps) ce qui est un système ouvert. Il faut donc être capable d'exprimer les dérivées des grandeurs pour chaque particule en fonction du champ eulérien. Pour cela on peut utiliser la dérivée particulaire, ou la formulation sous forme conservative des différents théorèmes ce qui concerne les équations de Navier.

expression de la dérivée particulaire

• Si $X$ est un champ scalaire :

$\backslash frac\{D\; X\}\{Dt\}=\backslash frac\{\backslash partial\; X\}\{\backslash partial\; t\}\; +\backslash underline\{v\}\backslash cdot\backslash underline(X)$

• Si $\backslash underline\{X\}$ est un champ vectoriel :

$\backslash frac\{D\; \backslash underline\{X\}\}\{Dt\}=\backslash frac\{\backslash partial\; X\}\{\backslash partial\; t\}\; +\backslash underline\{\backslash underline\{grad\}\}(\backslash underline\{X\})\backslash cdot\backslash underline\{v\}$

La représentation lagrangienne est adaptée à la description des solides, tandis que la représentation eulérienne est adaptée à la description des fluides.

Cinématique des milieux continus (description lagrangienne)

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• On décrit la transformation de chaque point du milieu par une fonction (suffisamment régulière) :

$\backslash underline\{\backslash Phi\}(M,t)$ telle que $\backslash underline\{OM\}=\backslash underline\{\backslash Phi\}(M\_0,t)$

On introduit alors le concept de déformation, pour mesurer la variation de distance entre deux points du solide suite à la transformation $\backslash underline\{\backslash Phi\}$

On cherche à avoir une mesure de $\backslash |MN\backslash |^2-\backslash |M\_0N\_0\backslash |^2$.

Or on a $\backslash underline\{OM\}=\backslash underline\{\backslash Phi\}(M\_0,t)$ On peut donc écrire :

$\backslash underline\{ON\}=\backslash underline\{OM\}+\backslash underline\{\backslash underline\{F\}\}\backslash cdot\backslash underline\{M\_0N\_0\}\; +o(\backslash |\backslash underline\{M\_0N\_0\}\backslash |)$

Où $\backslash underline\{\backslash underline\{F\}\}=\backslash underline\{\backslash underline\{grad\}\}(\backslash underline\{\backslash Phi\})=\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash underline\{\backslash Phi\}\}\{\backslash partial\; M\_0\}$ est le gradient de la transformation.

On obtient donc :

$\backslash |MN\backslash |^2-\backslash |M\_0N\_0\backslash |^2=\backslash underline\{M\_0N\_0\}\; \backslash left(\backslash underline\{\backslash underline\{F\}\}^T\; \backslash cdot\backslash underline\{\backslash underline\{F\}\}-\backslash underline\{\backslash underline\{Id\}\}\backslash right)\; \backslash underline\{M\_0\; N\_0\}$

On pose :

$\backslash underline\{\backslash underline\{E\}\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash underline\{\backslash underline\{F\}\}^T\; \backslash cdot\backslash underline\{\backslash underline\{F\}\}-\backslash underline\{\backslash underline\{Id\}\}\backslash right)$

$\backslash underline\{\backslash underline\{E\}\}$ est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange

Si on introduit le vecteur déplacement $\backslash underline\{u\}(M\_0,t)=\backslash underline\{M\_0M\}$ on obtient :

$\backslash underline\{\backslash underline\{E\}\}=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\backslash underline\{u\}\}\{\backslash partial\; M\_0\}^T\; \backslash cdot\backslash frac\{\backslash partial\backslash underline\{u\}\}\{\backslash partial\; M\_0\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash underline\{u\}\}\{\backslash partial\; M\_0\}\; +\backslash frac\{\backslash partial\backslash underline\{u\}\}\{\backslash partial\; M\_0\}^T\; \backslash right)$

Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on obtient l'opérateur des déformations linéarisé :

$\backslash underline\{\backslash underline\{\backslash varepsilon\}\}=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\backslash underline\{u\}\}\{\backslash partial\; M\_0\}\; +\backslash frac\{\backslash partial\backslash underline\{u\}\}\{\backslash partial\; M\_0\}^T\; \backslash right)$

Loi de comportement

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Lois empiriques de comportement

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Les lois empiriques de comportement sont des lois dérivées des observations et de l'expérience, qui décrivent les déformations ou les contraintes en fonction des sollicitations (vitesse de déformation, température...).

Essais mécaniques simples

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Ces essais permettent de mesurer, pour un objet, les principales grandeurs caractéristiques liées à la matière dont il est constitué.

Tenseur des déformations

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Si l'on dessine un petit cube au sein de la matière, ce cube sera transformé en parallélépipède après déformation de la pièce (on suppose des petites déformations). On va donc avoir d'une part un élongation (ou contraction) différente selon les trois arrête (ε₁, ε₂, ε₃), mais aussi une variation de l'angle droit pour chacun des trois angles, qui deviendront (π/2-2·γ₁, π/2-2·γ₂, π/2-2·γ₃).

On peut organiser ces nombres ε_i et γ_i dans un « tableau », et donc représenter la déformation sous la forme d'une matrice 3×3 (ou tenseur).

Tenseur des contraintes

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Dans le cas général, un élément de matière situé au cœur d'une pièce est soumis à des contraintes dans diverses directions. On représente cet état de contrainte par un tenseur (une matrice) 3×3 appelé tenseur des contraintes.

Voir aussi

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Memento de mécanique des milieux continus et de thermoélasticité

Mécanique des milieux continus

Continuum mechanics | Kontinuumimekaniikka | 連続体力学 | Continuümmechanica | Механика сплошных сред | Kontinuummekanik | Cơ học môi trường liên tục | 连续介质力学