Loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart (1820) donne le champ magnétique créé par une distribution de courants continus. Elle constitue l'une des lois fondamentales de la magnétostatique, au même titre que la loi de Coulomb pour l'électrostatique.

Cas d'un circuit filiforme

Un circuit filiforme est une modélisation où le fil électrique ne possède qu'une dimension. C'est une idéalisation d'un fil réel dont la longueur serait très supérieure aux dimensions transverses de sa surface de section.

Loi de Biot & Savart

Notons $\mathcal C$ la courbe géométrique représentant le circuit filiforme, et soit $S$ un point de cette courbe $\mathcal C$ . On note $\vec{dl}$ le vecteur déplacement élémentaire tangent à la courbe $\mathcal C$ au point $S$ . Dans le vide, le circuit parcouru par un courant continu d'intensité $I$ crée en tout point $M$ de l'espace $\left( M \notin \mathcal{C} \right)$ le champ magnétique :

\vec{B}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4 \pi} \ \oint_{\mathcal{C}} \  \frac{I \, \vec{dl} \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3}

où $\mu_0$ est une constante fondamentale, appelée perméabilité magnétique du vide.

Remarque sur une notation

On dit parfois que l'élément infinitésimal de longueur $\vec{dl}$ , situé au point $S$ et parcouru par le courant $I$ , crée le champ magnétique élémentaire $\vec{dB}$ situé au point $M$ :

\vec{dB}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4\pi} \ \frac{I \, \vec{dl} \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3}

Il importe de bien comprendre qu'il s'agit là d'un abus de langage mathématiquement commode pour poser le paramétrage de l'intégrale. En effet, le courant d'intensité $I$ ne peut circuler que dans le circuit fermé complet $\mathcal C$ , et seule l'intégrale curviligne complète possède un sens physique.

Autres modélisations

Densité surfacique de courant

Dans le cas d'une densité surfacique de courant $\vec{j}_s$ existant sur la surface $\Sigma$ , le champ magnétique créé est :

\vec{B}(M) \ =  \ \frac{\mu_0}{4\pi} \iint_{S \in \Sigma} \frac{\vec{j}_s(S) \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3} \ d \Sigma

Densité volumique de courant

Dans le cas d'une densité volumique de courant $\vec j$ existant dans le volume $\mathcal V$ , le champ magnétique créé est :

\vec{B}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_{S \in \mathcal{V}} \frac{\vec{j}(S) \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3} \ dV

Théorème d'Ampère

En intégrant la loi de Biot et Savart sur une boucle fermée $\Gamma$ quelconque (qui a priori n'est pas un circuit électrique), on démontre le théorème d'Ampère :

\oint_{M \in \Gamma} \vec{B}(M) \cdot \vec{dM} \ = \ \mu_0 \ I_{interieur}

où $I_{interieur}$ est l'intensité algébrique enlacée par la courbe $\Gamma$

La cas d'une particule chargée

En remarquant qu'une particule ponctuelle de charge électrique $q$ animée d'une vitesse constante $\vec v$ possède une densité de courant : $\vec{j} \ = \ q \ \vec{v}$ , la loi de Biot et Savart suggère d'écrire que cette charge (en mouvement) au point $S$ crée un champ magnétique au point $M$ :

\vec{B}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \vec{v} \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3}

Attention : cette expression est en réalité une approximation, qui n'est valide que pour des vitesse très petites devant la vitesse de la lumière dans le vide : $v \ll c$ . L'expression exacte du champ magnétique crée par une charge en mouvement est donnée par la formule de Lienard-Wiechert.

Application à l'aérodynamique

La loi de Biot et Savart est utilisée pour calculer la vitesse induite par des lignes de vortex en aérodynamique. En effet, une analogie avec la magnétostatique est possible si l'on admet que la vorticité correspond au courant, et la vitesse induite à l'intensité du champ magnétique.

Pour une ligne de vortex de longueur infinie, la vitesse induite est donnée par :

v \ = \ \frac{\Gamma}{4\pi d}

où :

Γ est l'intensité du vortex

d est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne de vortex.

Pour une ligne de vortex de longueur finie :

v \ = \ \frac{\Gamma}{8 \pi d} \ \left \ \cos A - \cos B  \ \right

où A et B sont les angles (orientés) entre la ligne et les deux extrémités du segment.

Bibliographie

John D. Jackson ; Electrodynamique classique, Dunod (2001) ISBN 2100044117. La bible de l'électromagnétisme, enfin traduite en français.

Voir aussi

Outils théoriques de l'électromagnétisme | Loi en physique

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