Logique

La logique (du grec logos, raison, discours), qui était dans l'antiquité grecque et au Moyen-Age l'une des grandes disciplines de la philosophie avec l'éthique et la métaphysique, est toujours une branche très développée de la philosophie mais est aussi devenue au une discipline mathématique et informatique. Aujourd'hui, elle fait en outre partie intégrante de l'ingénierie, de la linguistique, de la psychologie cognitive et de la communication social.

Généralités

La logique est l'étude de la nature, des concepts, de la vérité, des jugements et de la validité des raisonnements. La partie de la logique qu'on appelle "Logique Mathématique" se déploie ainsi aujourd'hui selon les quatre grands axes que sont :

Cette classification en quatre grands axes, généralement admise, est celle proposée par Jon Barwise dans son ouvrage Handbook of Mathematical Logic. Depuis, un cinquième grand axe semble se dessiner avec les travaux sur la théorie des types.

Disciplines de la logique

Les syllogismes aristotéliciens
Le calcul des propositions
Le calcul des prédicats
La logique classique
La logique intuitionniste
La logique minimale
Le lambda-calcul
Les logiques multivalentes :
Les logiques modales :
- La logique épistémique
- La logique déontique
- La logique temporelle
La logique linéaire
Les paradoxes
L'algorithme d'unification en logique
La logique floue

Philosophie

Antiquité

La logique est à l'origine une réflexion sur l'accord du discours (logos) avec lui-même. On peut dire qu'elle est un effort de la pensée pour rendre sa propre expression non contradictoire. Par la suite, elle est devenu outil (organon) assurant la cohérence de la reflexion. La philosophie se sert donc de la logique pour organiser son discours et lui assurer une pertinence concernant ses hypothèses sur le monde.

La cohérence d'un discours a deux aspects qui correspondent aux différents sens du concept de vérité :

la cohérence interne du discours lui-même : c'est la logique dans son aspect purement formel.
la cohérence externe : c'est la définition matérielle de la vérité : « adequatio rei et intellectus », l'accord du contenu avec la réalité.

Le premier type de cohérence peut se faire en vue du second, mais s'en détache aussi pour constituer un domaine conceptuel autonome.

En philosophie, la logique pose le problème des relations entre le langage et la pensée : la logique semble être en effet à la fois l'effet et la cause du discours. Elle découle du logos en philosophie (le sens du discours) ; mais, en mathématique (la forme), la cohérence formelle semble s'engendrer d'elle-même.

La logique a très tôt été utilisée contre elle-même, c'est-à-dire contre les conditions mêmes du discours : le sophiste Gorgias l'utilise dans son Traité du non-être afin de prouver qu'il n'y a pas d'ontologie possible : « ce n'est pas l'être qui est l'objet de nos pensées ». La vérité matérielle de la logique est ainsi ruinée. Le langage acquiert ainsi sa propre loi, qui est celle de la logique, indépendante de la réalité. Mais les sophistes ont été écartés de l'Histoire de la philosophie (sophiste a pris un sens péjoratif), si bien que la logique, dans la compréhension qu'on en a eu par exemple au Moyen Âge, est restée soumise à la pensée de l'être.

XIXe siècle

Emmanuel Kant, quant à lui, définit la logique comme «une science qui expose dans le détail et prouve de manière stricte, uniquement les règles formelles de toute pensée». L'œuvre d'Aristote appelée l'Organon, où figure notamment l'étude du syllogisme, fut longtemps considérée comme le manuel de référence sur ce sujet. Mais la naissance d'une logique formelle dépassant la structure binaire entre sujet et attribut à partir du , a quelque peu changé cet état de fait. Ainsi Gottlob Frege remplace-t-il l'analyse prédicative par une distinction entre fonction et concept.

L'une des origines de la logique est parfois vue comme la lutte du vrai et du faux, de l'être et du non-être, du yin et du yang. Il a fallu attendre le début du pour que l'évidence de cette bivalence soit remise en question de deux façons différentes. La première façon considère des logiques trivalentes qui ajoutent une valeur indéterminée, elles sont dues à Stephen Cole Kleene, Jan Lukasiewicz et Bochvar et se généralisent en logiques polyvalentes. C'est à partir de 1965 que Lotfi Zadeh élabore une logique floue (fuzzy logic), dans laquelle une proposition est vraie selon un certain degré de probabilité (degré auquel on assigne lui-même un degré de probabilité, voir aussi les articles sur la théorie de la complexité algorithmique et la logique modale). La deuxième façon insiste sur le démontrable. Il y a donc ce qui est démontrable et le reste. Dans ce «reste», il peut y avoir des propositions réfutables, c'est-à-dire dont la négation est démontrable et des propositions au statut incertain, ni démontrable, ni réfutable. Cette approche est celle de la logique intuitionniste. Elle se fonde sur des modèles de Kripke dans lesquels le concept de base est celui de monde possible. La logique linéaire va encore plus loin dans l'analyse des démonstrations.

Mathématiques

Dans ce dernier cas, sa position est un peu particulière d'un point de vue épistémologique, puisqu'elle est à la fois un outil de définition des mathématiques, et une branche de ces mêmes mathématiques, donc un objet.

Notions élémentaires de logique formelle

Un langage logique est défini par une syntaxe, c'est-à-dire un système de symboles et de règles pour les combiner sous formes de formules. De plus, une sémantique est associée au langage. Elle permet de l'interpréter, c'est-à-dire d'attacher à ces formules ainsi qu'aux symboles une signification. Un système de déduction permet de raisonner en construisant des démonstrations.

La logique comprend classiquement :

la logique des propositions,
la logique des prédicats.

Considérons un langage logique. Ce dernier est soit :

un langage propositionnel, on parle alors de logique des propositions
un langage du premier ordre, on parle alors de logique des prédicats.

Bien évidemment, ces langages logiques diffèrent de par leur syntaxe.

Syntaxes

La syntaxe de la logique des propositions est fondée sur des variables de propositions appelées également atomes que nous notons avec des lettres minuscules (p, q, r, s, etc.). Ces symboles représentent des propositions qui sont, soit vraies, soit fausses. Ces variables sont combinées au moyen de connecteurs logiques qui sont :

le connecteur binaire disjonctif (ou),
le connecteur binaire conjonctif (et),
le connecteur binaire de l'implication (->),
le connecteur monadique de la négation (non).

Ces variables forment alors des formules complexes.

La syntaxe de la logique d'ordre un, contrairement à celle d'ordre zéro, considère d'une part les termes qui représentent les objets étudiés, et d'autre part les formules qui sont des propriétés sur ces objets. Dans la suite nous noterons V l'ensemble des variables (x,y,z…), F l'ensemble des symboles de fonctions (f,g…) et P l'ensemble des symboles de prédicats (P,Q…). On dispose également d'une application dite d'arité m.

Qu'en est-il de la signification d'une formule? C'est l'objet de la sémantique. Là encore, elle diffère selon le langage envisagé.

En logique traditionnelle, une formule est soit vraie soit fausse. Plus formellement, l'ensemble des valeurs de vérité est un ensemble B de deux booléens : le vrai (1) et le faux (0). La signification des booléens est définie à l'aide de fonctions de booléens vers des booléens. Ces fonctions peuvent être représentées sous la forme de table de vérité.

La signification d'une formule dépend donc de la valeur de vérité de ses variables. On parle d'interprétation ou d'affectation.

Comme dans le cas propositionnel, la sémantique de la logique du premier ordre est décrite par une interprétation. Cependant le langage de la logique du premier ordre est plus riche. En conséquence, de nouvelles définitions sont nécessaires. Contrairement au langage propositionnel, les interprétations et les affectations sont des objets différents. Une affectation donne une valeur à chaque variable, alors qu'une interprétation décrit le domaine des valeurs et la sémantique des symboles de fonctions et de prédicats.

Nous avons doté la logique propositionnelle ainsi que la logique du premier ordre d'une sémantique.

Toutefois, il est difficile, au sens de la complexité algorithmique, de l'utiliser pour décider si une formule est satisfiable (ou non) voire valide (ou non). Il faudrait pour cela énumérer toutes les interprétations. Leur nombre est exponentiel. Une alternative consiste à examiner les preuves bien formées, et à considérer leurs conclusions. Pour cela nous utilisons un système de preuve.

Un système de preuve est un couple (A,R), où A est un ensemble de formules appelées axiomes et R un ensemble de règles d'inférence, c'est-à-dire de relations entre des ensembles de formules (les prémisses) et des formules (la conclusion).

On appelle dérivation à partir d'un ensemble d'hypothèses une suite non vide de formules qui sont : soit des axiomes, soit des formules déduites des formules précédentes de la suite.

Une preuve d'une formule phi à partir d'un ensemble de formules Gamma est une dérivation à partir de Gamma dont la dernière formule est phi.

Quantification

On introduit essentiellement deux quantificateurs dans la logique moderne :

$\exists$ (il existe au moins un), appelé quantificateur existentiel.

$\forall$ (pour tout), appelé quantificateur universel.

Un troisième quantificateur, qui peut être défini à partir des quantificateurs précédents, est souvent introduit :

$\exists$ ! (il existe un seul et unique).

Grâce à la négation, les quantificateurs existentiels et universels jouent des rôles duals et donc, en logique classique, on peut fonder le calcul des prédicats sur un seul quantificateur.

Automatisme et informatique

Dans ces deux domaines la logique est omniprésente et représente le fondement de ces disciplines

En automatisme, afin de pouvoir ordonner des processus en fonction de conditions précises, un fonctionnement logique est nécessaire. À l'aide d'opérateurs logiques simples et combinés, la logique permet de déterminer des conditions et des prises de décisions automatisées. On distingue deux types de logique complémentaires:

la logique combinatoire qui fournit une ou plusieurs sorties en combinant les diverses entrées, pour un jeu d'entrées donné on obtient toujours les mêmes sorties.
la logique séquentielle qui tient compte de l'état présent de l'automate en plus des diverses entrées pour élaborer l'état suivant, un jeu d'entrées identique ne produira donc pas forcément les mêmes sorties.

Autrefois, les automates contenaient de multiples relais assurant ces fonctions. Aujourd'hui, ce sont en fait des micro-ordinateurs spécialisés disposant d'une partie d'électronique de puissance pour interagir avec son environnement et, une interface homme/machine adaptée.

En informatique :

dans la partie électronique numérique, les mêmes opérateurs logiques sont utilisés en grand nombres ;
dans la partie logiciel, les opérateurs de logique booléenne des langages de programmation sont très utilisés, comme système de comparaison et de prise de décision ;
au niveau des langages de programmation, il existe des relations profondes entre la logique intuitionniste et le lambda-calcul (et donc les langages fonctionnels). La correspondance de Curry-Howard propose de voir les propositions comme des types, et une preuve d'une proposition P comme un terme ayant le type P. On obtient alors des règles identiques à celles utilisées pour le typage des termes du lambda-calcul. Cette approche est utilisée dans un certain nombre de logiciels d'aide à la preuve, comme Coq ou HOL. Enfin, l'ajout de continuations au langage permet de retrouver la logique classique, le type de ces nouveaux termes pouvant être rapproché du tiers-exclus.
Afin de spécifier un système (protocole, logiciel...), notamment en model-checking, on fait appel aux logiques temporelles.

Voir aussi

Sur la philosophie :

Sur la logique mathématique :

Bibliographie

Jean-Pierre Belna, Histoire de la logique, 2005
Robert Blanché & Jacques Dubucs, La logique et son histoire: d'Aristote à Russell, Paris, Armand Colin, 1996
Paul Gochet & Pascal Gribomont, Logique. Vol. 1: méthodes pour l'informatique fondamentale, Paris, Hermès, 1990
Paul Gochet & Pascal Gribomont, Logique. Vol. 2: méthode formelle pour l'étude des programmes, Paris, Hermès, 1994
Paul Gochet, Pascal Gribomont & André Thayse, Logique. Vol. 3: méthodes pour l'intelligence artificielle, Paris, Hermès, 2000
William Kneale & Martha Kneale, The development of logic, Oxford, Clarendon Press, 1962

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