Logiciel de calcul formel

Un logiciel de calcul formel (computer algebra system ou CAS en anglais) est un logiciel qui facilite le calcul symbolique. Le partie principale de ce système est la manipulation des expressions mathématiques sous leur forme symbolique.

L'étude des algorithmes utiles à ces systèmes est appelée « algèbre informatique ».

Types d'expressions

Les expressions peuvent être :

des polynomes avec de multiples variables;
des fonctions standards (sinus, exponentielle, etc.);
des fonctions spéciales (Gamma, Zeta, erf, Bessel, etc.);
des fonctions composées de diverses expressions;
des dérivées, des intégrales, des sommes et des produits d'expressions;
des séries tronquées avec des expressions comme coefficients;
des matrices d'expressions;
etc.

Manipulations symboliques

Les manipulations symboliques sont typiquement :

simplification, qu'elle soit automatique ou effectuée à partir d'hypothèses
substitution de symboles ou de valeurs numériques par des expressions
changement de forme des expressions : expansion, de produits et de puissances, re-écriture de fractions partielles, re-écriture de fonctions trigonométriques comme exponentielles, etc.
différentiation relative à une ou plusieurs variables
optimisation globale, qu'elle soit conditionnelle ou non
factorisation partielle ou complète
solution d'équations linéaires et de quelques équations non-linéaires seon différents domaines
solution de quelques équations différentielles et d'équation aux différences
calcul de limites de certaines fonctions
quelques intégrales définies et indéfinies, incluant des intégrales à plusieurs variables
transformées
expansion en série de Taylor, de Laurent et de Puiseux
quelques expansion de séries infinies
quelques sommes de série
opérations sur les matrices incluant le produit et l'inversion, etc.
affichage d'expressions mathématiques, souvent à l'aide de système semblables à TeX

Autres Fonctionnalités

De plus, ces systèmes incluent des opérations numériques :

évaluation en fonction de valeurs numériques précises
evaluation en multi-précision. Par exemple, donner la valeur numérique de 2^1/3 avec 10 000 chiffres
calculs numériques d'expressions d'algèbre linéaire
tracé de graphes en 2D et 3D

Plusieurs offrent également un langage de programmation haut niveau, ce qui permet aux utilisateurs de personaliser ou d'augmenter les fonctionnalités déjà présentes.

Le temps d'exécution lors d'évaluation numérique est habituellement plus long que les programmes équivalents implantés en Matlab, Octave ou en langage C. C'est normal, puisque ces systèmes considèrent la représentation symbolique presque tout le temps, ce qui ne leur permet pas de profiter au mieux des librairies numériques des CPU.

Historique

Martin Veltman est le pionnier dans ce domaine, lui qui a conçu les premières applications en physique des hautes énergies. Son premier programme, conçu en 1963, s'appelait Schoonship (« vaisseau propre » en hollandais).

Ces systèmes sont devenus populaires au début des années 1970 et ont mené la création de l'IA. En 2006, ils sont vus comme des champs d'étude distincts.

Les premiers systèmes à devenir populaires sont Reduce, Derive et Macsyma, qui sont encore disponibles. Une version gratuite de Macsyma sous licence GNU appelée Maxima est encore maintenue.

Les meneurs dans ce marché sont Maple et Mathematica. Les deux sont courammant utilisés par les mathématiciens, les scientifiques et les ingénieurs. MuPAD et MathCad sont aussi disponibles.

Quelques systèmes se concentrent dans certains domaines d'application . Il sont habituellement conçu, développé et maintenu dans un milieu académique.

Quelques logiciels de calcul formel

Mathématiques utilisées

Source

Richard J. Fateman. Essays in algebraic simplification. Technical report MIT-LCS-TR-095, 1972. Article d'importance historique disponble au site du LCS (MIT)