Théorie des groupes

Un morphisme de groupe (on dit aussi homomorphisme de groupe) est une application d'un groupe dans un autre qui respecte la structure des groupes. Les morphismes de groupe peuvent être rattachés à une théorie plus générale des morphismes.

Dans tout cet article, $(G,*)\backslash ,$ et $(G\text{'},\backslash star)$ désignent des groupes, de neutres respectifs $e\; \backslash$ et $e\text{'}\; \backslash$.

Définition mathématique

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On dit que $f\; :\; G\; \backslash rightarrow\; G\text{'}\; \backslash ,$ est un morphisme du groupe $(G,*)\backslash ,$ dans le groupe $(G\text{'},\backslash star)$ si :

$\backslash forall\; (x,y)\; \backslash in\; G^2,\; f(x*y)=f(x)\; \backslash star\; f(y)$

On a alors les deux propriétés suivantes :

1) $f(e)=e\text{'}\; \backslash ,$

2) $\backslash forall\; x\; \backslash in\; G,\; f(x^\{-1\})=*^\{-1\}\; \backslash ,$

On dit que f est un isomorphisme si f est un morphisme bijectif.

Si de plus, $(G,*)=(G\text{'},\backslash star)$, on parle d'automorphisme.

Un morphisme de groupe transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes par les morphismes: c'est l'objet des paragraphes suivants.

Liens avec les sous-groupes

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Soient $H\; \backslash subset\; G\; \backslash ,$ un sous-groupe de $G\; \backslash ,$

$H\text{'}\; \backslash subset\; G\text{'}\; \backslash ,$ un sous-groupe de $G\text{'}\; \backslash ,$.

On a alors:

$f(H)\; \backslash ,$ est un sous-groupe de $G\text{'}\; \backslash ,$

$f^\{-1\}(H\text{'})\; \backslash ,$ est un sous-groupe de $G\; \backslash ,$

Par ailleurs:

Si $H\; \backslash ,$ est un sous-groupe distingué de $G\backslash ,$, alors $f(H)\; \backslash ,$ est un sous-groupe distingué de $f(G)\backslash ,$

Si $H\text{'}\; \backslash ,$ est un sous-groupe distingué de $G\text{'}\backslash ,$, alors $f^\{-1\}(H\text{'})\; \backslash ,$ est un sous-groupe distingué de $G=f^\{-1\}(G\text{'})\backslash ,$

note: dans le cas où $f\backslash ,$ est surjectif, on a $f(G)=G\text{'}\backslash ,$ et donc $f(H)\; \backslash ,$ est un sous-groupe distingué de $G\text{'}\backslash ,$

Noyau et image

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Par définition, on appelle noyau (Kern en allemand, kernel en anglais) du morphisme f, l'ensemble : $\backslash ker\; f=f^\{-1\}\; \backslash \{\; e\text{'}\; \backslash \}\; \backslash ,$

L'image de f est défini par : $\backslash mbox\{Im\}\; f=f(G)\; \backslash ,$

On a les propriétés suivantes :

$\backslash ker\; f$ est un sous-groupe distingué de $G\backslash ,$.

$\backslash mbox\{Im\}\; f\; \backslash ,$ est un sous-groupe de $G\text{'}\; \backslash ,$.

Equivalence fondamentale :

$f\; \backslash ,\backslash mbox\{est\; injective\}\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash ker\; f\; =\; \backslash \{e\backslash \}$

Isomorphismes de groupe

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On suppose dans cette section que $f$ est un isomorphisme. Cela revient à dire que c'est un morphisme bijectif.

On dit alors que les deux groupes $G$ et $G\text{'}$ sont isomorphes.

L'application réciproque $f^\{-1\}$ de $G\text{'}$ vers $G$ est également un isomorphisme de groupe.

Les deux groupes $G$ et $G\text{'}$ vont avoir exactement les mêmes propriétés, c'est-à-dire que du point de vue de la théorie des groupes ils se comportent comme étant le même objet.

Théorème d'isomorphisme

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Intuitivement, le noyau de $f$ traduit le défaut entre $G$ et $G\text{'}$. Par exemple, lorsque $ker\; f$ est trivial, le morphisme $f$ est injectif. On peut donc voir (via $f$) le groupe $G$ comme un sous-groupe de $G\text{'}$. C'est une situation optimale. À l'opposé, si $ker\; f=G$, alors le morphisme est trivial et ne donne aucun renseignement entre $G$ et $G\text{'}$.

D'une certaine façon, le noyau et l'image indiquent à quel point un morphisme est ou n'est pas un isomorphisme. Cette approche peut permettre de mieux comprendre le premier théorème d'isomorphisme suivant :

f induit un isomorphisme du groupe quotient $G/\; \backslash ker\; f\; \backslash ,$ vers $f(G)\; \backslash ,$

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On peut noter mathématiquement cet isomophisme par :

$G/ker\; f\backslash simeq\; Im(f)$

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