En théorie des nombres, la fonction de Mertens est

$M(n)\; =\; \backslash sum\_\{1\backslash le\; k\; \backslash le\; n\}\; \backslash mu(k)$

où $\backslash mu(k)\backslash ,$ est la fonction de Möbius.

La fonction de Möbius retourne seulement les valeurs -1, 0 et +1, il est évident que la fonction de Mertens croît lentement et qu'il n'existe pas de x tel que M(x) > x. La conjecture de Mertens (1897) va même plus loin, énonçant qu'il n'existe pas de x où la valeur absolue de la fonction de Mertens excède la racine carrée de x. Odlyzko et te Riele ont montré (1985) que cette conjecture était fausse. On ne connaît pas aujourd'hui de contre exemple explicite à cette conjecture, mais on sait qu'il en existe au moins un entre $10^\{12\}$ et $3.211$ $10^\{64\}$ (Pintz, 1987).

La fonction Möbius est implémentée dans Mathematica, mais pas la fonction de Mertens, mais elle peut être définie par cette commande :

Mertens:= Plus @@ MoebiusMu^*

Références

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• Pintz J, An effective disproof of the Mertens conjecture, Astérisque 147-148, 325-333 and 346 (1987).
• Odlyzko AM, te Riele HJJ, Disproof of the Mertens conjecture, J. reine angew. Math. 357, 138-160 (1985).

Liens externes

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• Les valeurs de la fonction de Mertens pour les 50 premiers n sont donnés (en anglais) par SIDN A002321
• Les valeurs de la fonction de Mertens pour les 2 500 premiers n sont donnés (en anglais) par PrimeFan's Mertens Values Page
• La page mathworld (en anglais) sur la conjecture de Mertens Mathworld's Mertens Conjecture Page

et son lien à la conjecture de Riemann.

Théorie des nombres

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