Fonction continue est un terme utilisé en mathématiques

Définition mathématiques

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Fonction continue en un point

Soient $I$ un intervalle de $\backslash mathbb\; R$, $f$ une application de $I$ dans $\backslash mathbb\; R$, et $x\_0$ un point de $I$. On dit que $f$ est continue en $x\_0$ si et seulement si

$\backslash forall\; \backslash varepsilon\; >0,\backslash ,\backslash exists\; \backslash eta>0,\backslash ,x\backslash in\backslash ,]x\_0-\backslash eta,x\_0+\backslash eta[\backslash ,\backslash cap\; I\backslash Longrightarrow\; |f(x)-f(x\_0)|\backslash le\; \backslash varepsilon$

Si $f$ est continue en $x\_0$, alors $\backslash lim\_\{\; x\backslash to\; x\_0\}\; f(x)\; =\; f(x\_0)$. Si cela est vrai uniquement à droite (pour $x>x\_0$), on dit que $f$ est continue à droite en $x\_0$. De même à gauche pour
Dire que $f$ est continue en $x\_0$ revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en $x\_0$.

Continuité sur un intervalle

On dit que $f$ est continue sur , autrement dit si

$\backslash forall\; x\backslash in\backslash varepsilon\; >0,\backslash ,\backslash exists\; \backslash eta>0,\backslash ,y\backslash in\backslash ,x-\backslash eta,x+\backslash eta[\backslash ,\backslash cap\; I\backslash Longrightarrow\; |f(x)-f(y)|\backslash le\; \backslash varepsilon$ ce qui équivaut à

- $f$ est continue sur $]a;b[$
- la limite à droite de $f$ lorsque $x\; \backslash to\; a$ vaut $f(a)$ et la limite à gauche de $f$ lorsque $x\; \backslash to\; b$ vaut $f(b)$.

Dérivabilité et continuité

Toute fonction dérivable en un point ou sur un intervalle est également continue sur cet intervalle.
La réciproque est fausse

Corollaire : fonctions usuelles
Les fonctions polynômes, rationnelles (quotients de polynômes), exponentielles, logarithmes, hyperboliques, et trigonométriques sont dérivables sur leur ensemble de définition, et sont donc également continues sur ceux-ci; par contre les fonctions racine carrée, racine cubique, partie entière, valeur absolue, Arcsinus, Arccosinus ne sont pas dérivables sur leur ensemble de définition.

Mais par exemple, la fonction racine carrée est continue sur $[0;+\backslash infty[$ et de la fonction valeur absolue sur $\backslash R$.

Algèbre des fonctions continues et composée de fonctions continues

Par définition, $f$ continue en $a\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}f(x)\; =\; f(a)$.

Il résulte donc des théorèmes sur les limites les résultats suivants :

Algèbre des fonctions continues
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un même intervalle $I$. Alors

• $\backslash alpha\; f\; +\; \backslash beta\; g\; \backslash quad\; \backslash forall\; (\backslash alpha,\; \backslash beta)\; \backslash in\; \backslash R^2$ (combinaison linéaire)
• $f\backslash cdot\; g$ (produit)
• $\backslash frac\{f\}\{g\}\backslash quad\; (g\; \backslash ne\; 0)$ (quotient)

sont continues sur $I$.

Composée de fonctions continues
Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $f(I)$ alors $g\; \backslash circ\; f$ est continue sur $I$.

Voir aussi

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• Théorème des valeurs intermédiaires
• Théorème de la bijection
• Continuité
• Continuité (mathématiques élémentaires)

Analyse

Spojitá funkce | Kontinuitet | Stetigkeit | Συνέχεια συνάρτησης | Continuous function | Continuidad (matemática) | Jatkuva funktio | רציפות | Funzione continua | 連続 (数学) | 연속 함수 | Tolydi funkcija | Continue functie | Funkcja ciągła | Função contínua | Funcţie continuă | Непрерывное отображение | Continuous function | Kontinuerlig | ฟังก์ชันต่อเนื่อง | 连续函数