Distance (mathématiques)

Définition

En mathématiques, on appelle distance sur un ensemble $E$ une application $d:E\times E\rightarrow\mathbb R^+$ telle que:

$\forall x,y\in E : d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie);
$\forall x,y\in E : d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (séparation);
$\forall x,y,z\in E : d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire).

Un ensemble muni d'une distance s'appelle un espace métrique.

Remarque : dans la définition d'une distance, on demande généralement que l'ensemble d'arrivée soit $\mathbb R^+$ ; en réalité, ce n'est qu'une conséquence des axiomes de la définition, comme le prouve la suite d'inégalités valable pour tout couple $(x,y)$ de réels : $0\leq d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)\leq 2d(x,y)$ en utilisant respectivement l'axiome 2, l'axiome 3 puis l'axiome 1.

La distance est dite ultramétrique si de plus : $\forall x,y,z\in E : d(x,z)\leq \max( d(x,y), d(y,z) )$

Distances entre deux ensembles

Soient E₁ et E₂ deux parties d'un espace métrique muni d'une distance d, on définit la distance entre ces deux ensembles comme :

d(E_1,E_2) = inf\{ d(x,y)\ /\ (x,y) \in (E_1,E_2)\}

N.B. : Cette « distance » n'est pas une distance sur l'ensemble des parties de E au sens des axiomes définis plus haut. En particulier si la distance entre deux ensembles est nulle, on ne peut pas en déduire que ces ensembles sont égaux.

Néanmoins, il est possible de définir une vraie distance entre les parties compactes d'un espace métrique. Pour cela, voir : distance de Hausdorff.

Distance sur des espaces vectoriels

Dans un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$ , on peut toujours définir de manière canonique une distance d à partir de la norme. En effet, il suffit de poser : $\forall (x,y) \in E \times E : d(x,y) = \|y-x\|$

En particulier, dans $\mathbb{R}^n$ , on peut définir de plusieurs manières la distances entre 2 points, bien qu'elle soit généralement donnée par la distance euclidienne (ou 2-distance). Soit deux points de E, (x₁, x₂, ... ,x_n) et (y₁, y₂, ... ,y_n), on exprime les différentes distances ainsi :

1-distance : $\sum |x_i-y_i|$ (distance de Manhattan),
2-distance : $\sqrt{\sum |x_i-y_i|^2}$ (distance euclidienne),
p-distance : $\sqrt$ ^*{\sum |x_i-y_i|^p},
∞-distance : $\lim_{p \to \infty}\sqrt$ ^*{\sum |x_i-y_i|^p} = \sup_{i}{|x_i-y_i|}.

La 2-distance permet de généraliser l'application du théorème de Pythagore à un espace de dimension n. C'est la distance la plus intuitive.

La p-distance est rarement utilisée en dehors des cas p = 1, 2 ou ∞. La 1-distance présente la particularité amusante de permettre la définition en toute rigueur de sphères carrées (voir oxymore).

Distance sur une sphère

Voir : Distance du grand cercle

Distances entre deux permutations

Il est également possible de définir des distances entre des permutations. L'exemple suivant est très utilisé dans le réarrangement de génomes. Soit

S

un ensemble de permutations modélisant diverses opérations; alors la distance entre deux permutations

\pi

\sigma

est la longueur d'une séquence minimale formée du produit d'éléments de

S

telle que cette séquence transforme

\pi

\sigma

Ces distances peuvent également servir à mesurer, de diverses manières, le désordre présent dans une séquence. On utilise alors ces mesures pour analyser les performances de divers algorithmes de tri, ou pour construire de nouveaux algorithmes de tri qui effectuent un nombre de comparaisons optimal par rapport à la mesure de désordre choisie.

Voir aussi

Langage courant

La distance entre 2 points est mesurée par la longueur du segment qui les relie. Dans le cas de 2 points à la surface de la Terre, la distance s'entend à vol d'oiseau ou parfois par la route, en train, etc. La distance peut aussi être exprimée avec le temps qu'il vous est nécessaire pour la parcourir à pied ou en voiture, rendant la mesure ambiguë lorsque le moyen de transport n'est pas précisé.

Contrairement à des coordonnées, une distance est toujours positive ou nulle.

Topologie

Mesures en géométrie

Distance et longueur