En électrostatique:
Soit en A une charge +q : déplaçons-la de manière infime , de vecteur $\backslash vec\{a\}$ en B , et replaçons en A la charge opposée. On obtient un doublet de charges (-q,+q) placées en A et B, appelé dipôle électrostatique.

On crée ainsi la distribution dipôlaire de moment dipolaire $\backslash vec\{p\}\; =\; q\; \backslash cdot\; \backslash vec\{AB\}$. Vu de très près, le dipôle apparaît bien comme constitué des charges +q et -q. Mais vu de loin (autrement dit, à une distance grande devant la distance AB), seul importe le produit $\backslash vec\{p\}$ (moment dipôlaire) de la charge et de la distance.

Calculons le champ créé par ce dipôle.

Plus généralement soit une distribution quelconque de charge (D) créant au point M , le champ E(M|(D)).

Effectuons la même opération que précedemment: on obtient une nouvelle distribution (D') formée de -(D) + la translatée de (D) du vecteur $\backslash vec\{a\}$.

On a alors:

Théorème : le potentiel électrostatique créé par (D') est lié au champ électrostatique créé par (D) par la relation :

$V(M|D\text{'})\; =\; \backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{E\}(M|(D))$

Potentiel du dipôle

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Le théorème précédent donne immédiatement :

$V(M)\; =\; \backslash vec\{AB\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{q\; \backslash vec\{OM\}\}\{4\; \backslash pi\; \backslash epsilon\_o\; OM^3\}$.

par souci de simplicité , posons $4\; \backslash pi\; \backslash epsilon\_o$. V(M) = V1(M).

Expression intrinsèque du potentiel: $V\_1(M)\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\{p\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{r\}\}\{r^3\}$

soit V1(M) = p.cos$\backslash theta$/r²

Les équipotentielles sont donc les surfaces de révolution dont les méridiennes sont: r = k sqrt(cos $\backslash theta$); ce sont donc des globes aplatis, tous tangents au plan équatorial d'antisymétrie.

Champ du dipôle

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$\backslash vec\{E1\}(M)\; =\; -\; \backslash vec\{grad\}(V1(M))\; =\; \backslash frac\{p\}\{r^3\}.(2cos\backslash theta\; \backslash vec\{u\_r\}\; +\; sin\; \backslash theta\; \backslash vec\{u\_\backslash theta\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{r^3\}.3\; \backslash vec\{u\_r\}(\backslash vec\{p\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{u\_r\})\; -\; \backslash vec\{p\}$

On en déduit les lignes de champ (orthogonales aux equipotentielles): r = k $sin^2\backslash theta$:

Soit à 30°, k/4 , à 45° k/2 ,à 60° 3k/4 et enfin k à 90°, qu'on complète par symétrie. Ainsi dans l'espace, elles forment un tore de méridienne oblongue et de collier nul. Cette figure est très importante à mémoriser.

Tracé du diagramme électrique

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A faire: figure !

Torseur de forces subies par un dipôle dans un champ E(M)

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Le vecteur somme est q E(B) -q E(A) = (p.grad)E(M).

Le moment en M est p/\E(M).

On peut associer à ces résultats une énergie potentielle conventionnelle - p.E(M)

Calcul direct du potentiel

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Sans utiliser le théorème, mais avec la seule loi de Coulomb: $V(M)=\backslash vec\{E\}\backslash cdot\backslash vec\{dl\}=\backslash frac\{q\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0r\}$ et le principe de linéarité, on a ici:

$V(M)=\backslash frac\{q\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}(\backslash frac\{1\}\{BM\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{AM\})$

Or, avec O milieu de ^* et a=AB: $BM^2=OB^2+OM^2+2\backslash vec\{BO\}\backslash cdot\backslash vec\{OM\}=r^2(1-\backslash frac\{a\; cos\backslash theta\}\{r\})$ en coordonnées polaires et en négligeant $\backslash frac\{a^2\}\{4r^2\}$ par l'hypothèse d'observation de loin (r>>a). Puis un développement limité donne: $\backslash frac\{1\}\{BM\}=\backslash frac\{1\}\{r\}(1+\backslash frac\{a\; cos\backslash theta\}\{2r\})$

On obtient: $V(M)=\backslash frac\{q\; a\; cos\backslash theta\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\; r^2\}=\backslash frac\{\backslash vec\{p\}\backslash cdot\backslash vec\{OM\}\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\; OM^3\}$

Voir aussi

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• Électrostatique
• dipôle électrique d'une boule à comparer à dipôle magnétique d'une sphère
• quadrupôle
• polarisation

Électromagnétisme

Dipol | Dipole | دوقطبی الکتريکی | Dipolo | 双極子 | Dipool | Elektryczny moment dipolowy | električni dipol | Дипол