Composition de fonctions

= Composition de fonctions = En Mathématiques, la composition de fonctions consiste à 'réunir' plusieurs fonctions pour en former plus qu'une.

Notation

La composition de deux fonctions f et g est notée

f \circ g

(l'on prononce 'rond'). Lorsque il est nécessaire d'identifier la variable l'on peut écrire:

(f \circ g)(x) = f \circ g(x) = f(g(x))

Règles pour la composition de fonctions

La composition de fonction n'est possible que si les domaines de définition des fonctions sont compatibles.

Règle

f:\mathbb I \rightarrow \mathbb J

g:\mathbb K \rightarrow \mathbb L

sont deux fonctions, alors l'on peut écrire

f \circ g

si et seulement si

\mathbb L \subseteq \mathbb I

(l'ensemble d'arrivée de la fonction g est compris dans l'ensemble de départ de la fonction f).

Exemple d'incompatibilité des domaines

Soient la fonction

f: \begin{matrix} \mathbb R^+ & \rightarrow & \mathbb R^+ \\ x & \rightarrow & \sqrt{x} \end{matrix}

et la fonction

g: \begin{matrix} \mathbb R & \rightarrow & \mathbb R \\ x & \rightarrow & -x \end{matrix}

alors

on peut écrire $f \circ g$ si et seulement si la fonction est définie dans le domaine

f \circ g: \begin{matrix} \mathbb R^- & \rightarrow & \mathbb R^+ \\ x & \rightarrow & \sqrt{-x} \end{matrix}

Propriétés

La composition de fonctions n'est pas commutative:

En général :

f \circ g \ne g \circ f

La composition de fonctions est associative:

f \circ ( g \circ h ) = ( f \circ g ) \circ h

La composition de fonctions n'est pas distributive (sur un opérateur quelconque $\star$ ) :

f \circ (g \star h) \ne (f \circ g) \star (f \circ h)

Continuité: Si la fonction g est continue en $x_0\,$ et la fonction f est continue en $g(x_0)\,$ alors $f \circ g$ est continue en $x_0\,$

Variations

La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante.
La composée de deux fonctions de monotonies contraires est décroissante.

Formules diverses

Dérivée : En posant $u = g(x)\,$ et on obtient:

\frac {d}{dx} f \circ g(x) = \frac{df(u)}{du} \cdot \frac {du}{dx} = \frac{df(u)}{du} \cdot \frac {dg(x)}{dx}

d'où

( f \circ g(x) )' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

= Composition d'applications = En mathématiques, la composition des applications est une loi qui permet de former à partir de deux applications une application appelée application composée, qui a pour effet d'appliquer la seconde application, puis la première.

L'application composée associe à un élément, l'image par la première application de l'image par la seconde application de cet élément.

X, Y et Z étant trois ensembles quelconques, les applications f:X→Y et g:Y→Z peuvent être composées parce que l'ensemble d'arrivée de f est égal à l'ensemble de définition de g.

L'application composée de f par g est l'application gof: X→Z définie par

\forall x\in X, (g\circ f)(x)=g(f(x))

Ainsi l'image par gof d'un élément x de X s'obtient en appliquant f puis g à x.

La notation gof se lit « g rond f » ou « composée de f par g » ou « composée de g et f ».

Comme exemple, supposons que l'altitude d'un avion à l'instant t soit donnée par la fonction h:t↦h(t) et que la concentration d'oxygène autour de l'avion à une altitude x soit donnée par la fonction c:x↦c(x).
Alors coh est la fonction qui représente la concentration d'oxygène autour de l'avion à l'instant t.

À la moitié du , quelques mathématiciens décidèrent de ne pas utiliser la notation gof pour appliquer f puis g parce qu'ils trouvaient que cela pouvait porter à confusion. Ils écrivaient «xf» à la place de «f(x)» et «xfg» à la place de «g(f(x))».
Cependant, ce mouvement ne fut pas suivi, et de nos jours, cette notation ne se rencontre que dans de vieux livres.

Les applications g et f commutent si fog=gof.

La dérivation des composées d'applications suppose que les applications sont toutes dérivables. (Voir aussi la formule de Faà di Bruno.)

Puissances fonctionnelles

Si Y⊂X alors f peut être composée avec elle-même; et la composée est notée f². Ainsi

\forall x\in X, (f\circ f)(x) = f(f(x)) = f ^2(x)

\forall x\in X, (f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f ^3(x)

Pour tout entier naturel n, la puissance n-ième de f est définie par $f\circ f^n =f^n \circ f =f^{n+1}$ et $f^0=\operatorname{Id}_X$ .

Une extension de cette notation avec des exposants entiers négatifs peut être définie, à condition de supposer la fonction bijective de X sur X. f^-1 désigne l'application réciproque et pour tout entier n strictement négatif fⁿ, est la composée de f^-1 par elle-même -n fois.

Il ne faut évidemment pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication des applications. Par exemple sin² est la fonction sin×sin qui vérifie pour tous réels x, sin²(x) = sin(x)×sin(x). Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

Voir aussi

Algèbre | Mathématiques élémentaires | page à recycler

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