Les mathématiciens Von Neumann, Gödel et Bernays ont créé la théorie axiomatiques des ensembles avec classes (en abrégé théorie NGB). Cette théorie est dérivée de la théorie ZFC (théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix), dont elle prétend corriger une insuffisance : l’absence de prise en compte de collections d’objets appelés classes, qui ne peuvent être des ensembles au sens de ZFC et qui peuvent pourtant y être définies (exemple : la collection de tous les ensembles, qui ne peut exister selon ZFC).

Notion de classe

---

La théorie NGB reprend les axiomes de la théorie ZFC, et c’est pourquoi on retrouve la notion d’ensemble, mais ces axiomes sont adaptés si nécessaire pour permettre l’existence d’autres objets que les ensembles. Les objets de la théorie NGB sont appelés classes. La notion de classe est primitive dans cette théorie et ne se définit donc pas directement.

Une autre notion primitive de la théorie est la notion d’appartenance, notée « ∈ ». De ce point de vue, il existe deux sortes de classes :

• celles qui appartiennent à une autre classe; ce sont en fait les ensembles de la théorie ZFC, qui sont donc ici définis par :

$\backslash forall\; X\; ,\; (\; X\; est\backslash \_un\backslash \_ensemble\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; \backslash exists\; C\; /\backslash ,\; X\; \backslash in\; C\; )\; \backslash ,$

• celles qui n’appartiennent à aucune autre classe; elles sont appelées univers (ou classes propres) et leur définition formelle est :

$\backslash forall\; X\; ,\; (\; X\; est\backslash \_un\backslash \_univers\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; \backslash forall\; C\; ,\; X\; \backslash not\backslash in\; C\; )\; \backslash ,$

Les deux notions d’ensemble et d’univers sont complémentaires : toute classe est soit un ensemble, soit un univers, et aucune classe n’est les deux à la fois.

Il existe dans cette théorie une classe de tous les ensembles, notée « Ω » et définie par :

$\backslash forall\; X\; ,\; (\; X\; \backslash in\; \backslash Omega\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; \backslash exists\; C\; /\backslash ,\; X\; \backslash in\; C\; )\; \backslash ,$

Par contre, il n’existe pas et il ne peut pas exister de classe des univers et encore moins de classe de toutes les classes.

Axiomes de la théorie NGB

---

La théorie NGB reprend les axiomes de ZFC, dont certains modifiés pour tenir compte de l’existence des classes, auxquels elle ajoute un axiome spécifique, qui peut se décomposer en huit axiomes plus simples.

• NGB 1 : axiome d'extensionnalité

Cet axiome faisant appel à la notion d’égalité de deux ensembles, il importe de préciser d’abord comment celle-ci est définie en théorie NGB :

Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils appartiennent aux mêmes classes.

ou :

$\backslash forall\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash forall\; F\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash E\; =\; F\backslash Leftrightarrow\backslash forall\; C\; ,\; \backslash \; (\; E\; \backslash in\; C\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; F\; \backslash in\; C\; )\backslash ,$

Nous pouvons dès lors énoncer l’axiome d'extensionnalité :

Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont identiques.

ou :

$\backslash forall\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash forall\; F\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash \backslash forall\; x\; ,\; \backslash \; (\; x\; \backslash in\; E\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; x\; \backslash in\; F\; )\backslash RightarrowE\; =\; F\backslash ,$

En d'autres termes, si on se représente les ensembles comme des sacs virtuels enveloppant leurs éléments , la nature ou la forme de ces sacs n'ont aucune importance ; seule compte la liste des éléments de chaque ensemble.

Remarquons au passage la dualité éléments / classes qui apparait entre Définition de l'égalité et Axiome d'extensionnalité.

• NGB 2 : axiome de la paire

Si a et b sont deux ensembles, alors il existe au moins un ensemble dont ils sont les uniques éléments.

ou :

$\backslash forall\; a\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash forall\; b\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash exists\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; /\backslash ,\; \backslash \; \backslash forall\; x\; ,x\; \backslash in\; E\backslash Leftrightarrow(\; x\; =\; a\; )\; \backslash vee\; (\; x\; =\; b\; )\backslash ,$

L'unicité de cet ensemble pour a et b donnés découle de l'axiome d'extensionnalité.

Si a et b sont différents, il est nommé « paire de a et de b » et noté « { a , b } ».

Si a et b sont égaux, il est nommé « singleton de a » et noté « { a } ».

• NGB 3 : axiome de la réunion, dit aussi axiome de l’ensemble somme

Si E est un ensemble, alors il existe au moins un ensemble qui soit la réunion des éléments de E, c’est-à-dire contenant les éléments des éléments de E et eux seuls.

ou :

$\backslash forall\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash exists\; U\; \backslash in\; \backslash Omega\; /\backslash ,\; \backslash \; \backslash forall\; x\; ,x\; \backslash in\; U\backslash Leftrightarrow\backslash exists\; a\; /\backslash ,\; \backslash \; (\; x\; \backslash in\; a\; )\; \backslash wedge\; (\; a\; \backslash in\; E\; )\backslash ,$

L'unicité de cet ensemble pour E donné découle de l'axiome d'extensionnalité.

Il est nommé « ensemble somme de E » et noté « $\backslash mathfrak\{U\}$( E ) » ou « UE ».

• NGB 4 : axiome de l'ensemble des parties

Si E est un ensemble, alors il existe au moins un ensemble contenant les sous-ensembles de E et eux seuls.

ou :

$\backslash forall\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash exists\; P\; \backslash in\; \backslash Omega\; /\backslash ,\; \backslash \; \backslash forall\; X\; ,\; (\; X\; \backslash in\; P\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; X\; \backslash subseteq\; E\; )\; \backslash ,$

L’unicité de cet ensemble pour E donné découle de l’axiome d’extensionnalité.

Il est nommé « ensemble des parties de E » et noté « $\backslash mathfrak\{P\}$( E ) ».

• NGB 5 : axiome de séparation

Pour toute classe C et tout ensemble E, il existe un ensemble F qui regroupe les éléments de E qui appartiennent aussi à C.

ou :

$\backslash forall\; C\; ,\; \backslash forall\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash exists\; F\; \backslash in\; \backslash Omega\; /\backslash ,\; \backslash \; \backslash forall\; x\; ,x\; \backslash in\; F\backslash Leftrightarrow(\; x\; \backslash in\; E\; )\; \backslash wedge\; (\; x\; \backslash in\; C\; )\backslash ,$

L'axiome de séparation a pour conséquence l'existence d'un ensemble sans élément.

Il suffit de considérer un ensemble E quelconque et la classe des ensembles qui ne sont pas éléments de E. Alors, d'après l'axiome, il existe un ensemble dont les éléments sont et ne sont pas éléments de E, c'est-à-dire n'existent pas. En d'autres termes, il existe un ensemble sans éléments.

L'unicité de cet ensemble découle de l'axiome d'extensionnalité. Il est nommé « ensemble vide » et noté « Ø ».

• NGB 6 : axiome de l'infini

Il existe un ensemble auquel l’ensemble vide appartient, de même que les singletons de tous ses éléments.

ou :

$\backslash exists\; W\; \backslash in\; \backslash Omega\; /\backslash ,\; \backslash \backslash varnothing\; \backslash in\; W\backslash wedge\backslash forall\; x\; ,\; (\; x\; \backslash in\; W\; )\; \backslash Rightarrow\; (\; \backslash \{\; x\; \backslash \}\; \backslash in\; W\; )\backslash ,$

• NGB 7 : axiome de remplacement dit aussi axiome de substitution

Soit une classe C de couples dont la seconde composante est unique pour chaque première composante; alors pour tout ensemble E, il existe un ensemble F regroupant les secondes composantes des couples de C dont la première composante vient de E.

ou :

$\backslash forall\; C\; ,\backslash \; \backslash forall\; x\; ,\; \backslash forall\; y\; ,\; \backslash forall\; z\; ,\; (\; (\; x\; ,\; y\; )\; \backslash in\; C\; \backslash \; \backslash wedge\; \backslash \; (\; x\; ,\; z\; )\; \backslash in\; C\; )\; \backslash Rightarrow\; (\; y\; =\; z\; )\backslash ,$

$\backslash Rightarrow\backslash \; \backslash forall\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; \backslash exists\; F\; \backslash in\; \backslash Omega\; /\backslash ,\; \backslash \; \backslash forall\; y\; ,\; (\; y\; \backslash in\; F\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; \backslash exists\; x\; \backslash in\; E\; /\backslash ,\; (\; x\; ,\; y\; )\; \backslash in\; C\; )\backslash ,$

• NGB 8 : axiome de fondation dit aussi axiome de régularité

Tout ensemble non-vide contient au moins un élément avec qui il n’a pas d’élément commun.

ou :

$\backslash forall\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; (\; E\; \backslash ne\; \backslash varnothing\; )\; \backslash Rightarrow\; (\; \backslash exists\; x\; \backslash in\; E\; /\backslash ,\; x\; \backslash cap\; E\; =\; \backslash varnothing\; )\; \backslash ,$

• NGB 9 : axiome du choix

Pour toute famille d’ensembles non-vides disjoints deux à deux, il existe un ensemble contenant un élément et un seul de chaque ensemble de la famille.

ou :

$\backslash forall\; F\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; (\; \backslash forall\; X\; \backslash in\; F\; ,\; (\; X\; \backslash ne\; \backslash varnothing\; )\; \backslash wedge\; (\; \backslash forall\; Y\; \backslash in\; F\; ,\; X\; \backslash cap\; Y\; =\; \backslash varnothing\; )\; )\; \backslash ,$

$\backslash Rightarrow\; (\; \backslash exists\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; /\backslash ,\; \backslash forall\; X\; \backslash in\; F\; ,\; \backslash exists\; u\; \backslash in\; X\; /\backslash ,\; \backslash ,$

$(\; u\; \backslash in\; E\; )\; \backslash wedge\; (\; \backslash forall\; v\; \backslash in\; X\; ,\; (\; v\; \backslash in\; E\; )\; \backslash Rightarrow\; (\; v\; =\; u\; )\; )\; )\; \backslash ,$

• NGB 10 : axiome de formation des classes

Toute phrase valide du système ZF détermine une classe.

Cet axiome se décompose en 8 cas particuliers:

• NGB 10a : Il existe une classe contenant tous les ensembles et eux seuls.

$\backslash exists\; \backslash Omega\; /\backslash ,\; \backslash forall\; X\; ,\; (\; X\; \backslash in\; \backslash Omega\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; \backslash exists\; C\; /\backslash ,\; X\; \backslash in\; C\; )\; \backslash ,$

• NGB 10b : Il existe une classe contenant tous les couples dont les deux composantes sont des ensembles tels que le premier appartienne au second, et ces couples seulement.

$\backslash exists\; C\; /\backslash ,\; \backslash forall\; E\; ,\; \backslash forall\; F\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,(\; E\; ,\; F\; )\; \backslash in\; C\backslash LeftrightarrowE\; \backslash in\; F\backslash ,$

• NGB 10c : Pour toute classe, il existe une classe complémentaire regroupant les ensembles n'appartenant pas à cette classe.

$\backslash forall\; C\; ,\; \backslash exists\; \backslash bar\; C\; /\backslash ,\; \backslash forall\; E\; \backslash in\; \backslash Omega\; ,\; (\; E\; \backslash in\; \backslash bar\; C\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; E\; \backslash not\backslash in\; C\; )\; \backslash ,$

Remarque : la classe complémentaire de la classe des ensembles n'est pas celle des univers (qui n'existe pas), mais ... l'ensemble vide.

• NGB 10d : L'intersection de deux classes est toujours une classe.

$\backslash forall\; C\_1\; ,\; \backslash forall\; C\_2\; ,\; \backslash exists\; C\_3\; /\backslash ,\; \backslash forall\; E,\; (\; E\; \backslash in\; C\_3\; )\; \backslash Leftrightarrow(\; E\; \backslash in\; C\_1\; )\; \backslash wedge\; (\; E\; \backslash in\; C\_2\; )\backslash ,$

C₃ est notée habituellement « C₁ ∩ C₂ ».

• NGB 10e : Pour toute classe de couples, il existe une classe regroupant leurs premières composantes.

$\backslash forall\; C\_1\; ,\; \backslash exists\; C\_2\; /\backslash ,\; \backslash forall\; E,\; (\; E\; \backslash in\; C\_2\; )\; \backslash Leftrightarrow\; (\; \backslash exists\; F\; /\backslash ,\; (\; E\; ,\; F\; )\; \backslash in\; C\_1\; )\; \backslash ,$

• NGB 10f : Pour toute classe, les couples dont la première composante est élément de cette classe forment eux-mêmes une classe.

$\backslash forall\; C\_1\; ,\; \backslash exists\; C\_2\; /\backslash ,\; \backslash forall\; E,\; \backslash forall\; F,(\; E\; ,\; F\; )\; \backslash in\; C\_2\backslash LeftrightarrowE\; \backslash in\; C\_1\backslash ,$

• NGB 10g : Pour toute classe de triplets, les triplets obtenus par permutation circulaire de ceux-ci forment une classe.

$\backslash forall\; C\_1\; ,\; \backslash exists\; C\_2\; /\backslash ,\; \backslash forall\; E,\; \backslash forall\; F,\; \backslash forall\; G,(\; E\; ,\; F\; ,\; G\; )\; \backslash in\; C\_2\backslash Leftrightarrow(\; F\; ,\; G\; ,\; E\; )\; \backslash in\; C\_1\backslash ,$

• NGB 10h : Pour toute classe de triplets, les triplets obtenus par transposition de ceux-ci forment une classe.

$\backslash forall\; C\_1\; ,\; \backslash exists\; C\_2\; /\backslash ,\; \backslash forall\; E,\; \backslash forall\; F,\; \backslash forall\; G,(\; E\; ,\; F\; ,\; G\; )\; \backslash in\; C\_2\backslash Leftrightarrow(\; F\; ,\; E\; ,\; G\; )\; \backslash in\; C\_1\backslash ,$

Ainsi se termine l'exposé des axiomes de NGB.

Principales conséquences

---

Théories dérivées

---

Une théorie analogue à la théorie NGB, la théorie des chaînes d'appartenance, part d'un point de vue faussement naïf sur les objets mathématiques, introduit le prédicat d'appartenance et considère les comportements possibles à l'infini de suites d'objets liés successivement par ce prédicat d'appartenance.

Seuls trois comportements sont logiquement possibles :

- arrêt sur un objet terminal;

- prolongation de la chaîne à l'infini, par une succession d'objets non-terminaux tous distincts entre eux;

- formation d'une boucle; ces boucles auto-référentielles sont de vrais cercles vicieux à l'origine des paradoxes logiques de la théorie des ensembles (si on exclut ceux dus à un mélange entre langage et métalangage), et il faut les éliminer par un schéma d'axiomes de la forme :

$\backslash forall\; a\; \backslash forall\; b\; ...\; \backslash forall\; w\; \backslash forall\; x,b)\backslash wedge\; (b\backslash in\; c)\backslash wedge\; ...\; \backslash wedge(w\backslash in\; x)\backslash Rightarrow\; (x\backslash not\backslash in\; a)$

ce schéma d'axiomes a pour conséquences :

- qu'un objet ne peut appartenir à lui-même;

- que le prédicat d'appartenance est antisymétrique;

- que le prédicat d'appartenance n'est pas circulaire;

- ...

Après élimination des boucles, il ne reste que deux comportement possibles dans chaque direction : présence ou absence d'un élément terminal. Dans la direction $X\backslash in\; Y\backslash in\; ...$, les objets terminaux sont appelés univers et les objets non-terminaux ensembles. Dans la direction $...\; \backslash in\; W\backslash in\; X$, les objets terminaux sont vides et les objets non-terminaux non-vides.

On retrouve à partir de là une théorie ressemblant étonnamment à la théorie NGB à condition d'identifier les univers aux classes, mais dont le principal intérêt est de faire apparaître « naturellement » au fil des définitions la nécessité de la plupart des axiomes utilisés, comme ci-dessus.

Клас | Klasse (Mengenlehre) | Class (set theory) | Klass (matemaatika) | Osztály (halmazelmélet) | Classe (insiemistica) | Klasa (matematyka) | Класс (математика) | Klass (matematik) | 类 (数学)

Théorie des ensembles