Base (arithmétique)

En arithmétique, une base désigne la valeur dont les puissances successives interviennent dans l'écriture des nombres, ces puissances définissant l'ordre de grandeur de chacune des positions occupées par les chiffres composant tout nombre. Par commodité, on utilise usuellement, pour les bases entières à partir de deux, un nombre de chiffres égal à la base. En effet, l'écriture d'un nombre en base N à l'aide de N chiffres allant de 0 à N-1 correspond à son développement en base N.

Bases courantes

Certaines bases sont couramment employées :

la base 2 (système binaire), en électronique numérique et informatique,
la base 3 (système trinaire), dans les mêmes domaines, bien que moins fréquemment,
la base 8 (système octal), en informatique, davantage à l'échelle humaine que la base 2, aujourd'hui abandonnée au profit de la base 16,
la base 9 (système nonaire), davantage à l'échelle humaine que la base 3,
la base 10 (système décimal), la plus commune, aujourd'hui la référence dans le domaine des sciences,
la base 12 (système duodécimal), de manière embryonnaire, pour le compte en mois et années,
le base 16 (système hexadécimal), en informatique, facilitant les conversions en base 2 en regroupant des chiffres binaires, 16 étant une puissance de 2,
la base 27, davantage à l'échelle humaine que la base 3,
la base 60 (système sexagésimal), dans la mesure du temps et des angles.

De nombreuses bases sont, ou ont été, aussi utilisées par différents peuples ; consulter Système de numération pour plus de détails.

Symboles utilisés

Pour les bases jusqu'à 10 inclus, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Au-delà, on utilise les lettres. Par exemple, pour de la base 16, les symboles utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

L'usage du zéro positionnel est une convention pratique et élégante, mais non nécessaire pour représenter les entiers naturels, comme l'illustre le système décimal sans zéro. Il est, par contre, indispensable pour généraliser l'écriture positionnelle aux nombres fractionnaires.

Notations courantes

Pour n'importe quelle base, on a l'habitude de l'indiquer en petit en bas à droite du nombre. Par exemple $100111_2$ pour le nombre 100111 en base 2, ou encore $172_8$ pour le nombre 172 en base 8.

En plus de cette notation, il en existe d'autres, notamment employées en informatique.

Base 8 : on peut indiquer le nombre avec un zéro au début. Par exemple 0157 pour $157_8$ .
Base 16 : on peut indiquer le nombre avec un zéro suivi d'un petit x au début. On peut aussi le voir représenté précédé d'un signe dollar. Par exemple 0xAE4F ou $AE4F pour AE4F₁₆.

Conversion d'une base à une autre

Un nombre dans une base n donnée s'écrit sous la forme d'additions des puissances successives de cette base.

Le nombre $c_n...c_2c_1c_0$ en base $b$ , constitué des chiffres $c_n$ , ..., $c_2$ , $c_1$ , $c_0$ , peut aussi s'écrire sous la forme $c_n b^n + ... + c_2 b^2 + c_1 b^1 + c_0 b^0$ .

Pour passer d'une base à une autre, il faut donc diviser successivement le nombre de départ par toutes les puissances successives (de la plus élevée à la moins élevée) de la base cible, en retranchant à chaque fois au nombre à diviser le résultat du chiffre entier obtenu.

Sytèmes balancés

Une système numérique de base 2N ou 2N+1 peut également être doté des 2N+1 chiffres signés N, ..., 2, 1, 0, 1, 2, ..., N. On parle alors de système balancé.

Bases non standard

On peut également employer des bases :

négatives, pour lesquelles, comme pour les systèmes balancés, les nombres sont signés ;
non-entières, on parle alors de bêta-numération (la base d'or en est un exemple) ;
imaginaires (par exemple, la base $1+i$ , dans laquelle tout nombre complexe peut se développer, est une généralisation aux complexes du développement binaire) ;
...

Quelques propriétés

Zéro s'écrit 0 dans toutes les bases.
L'égalité « $121 = 11^2$ » est vraie dans toutes les bases naturelles strictement supérieures à 2.
En base dix, un nombre est pair s'il se termine par un multiple de 2, c'est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8 ; en base 2, il est pair s'il se termine par 0. Inversement, en base dix, un nombre est impair s'il se termine par un chiffre impair, soit 1, 3, 5, 7 ou 9, et en base deux s'il se termine par 1.
L'alternance des chiffres 0 et 1 en binaire se fait avec les chiffres 5 ou A en hexadécimal.

555₁₆ = 010101010101₂

AAA₁₆ = 101010101010₂

Un nombre s'écrivant de la même façon dans deux bases naturelles différentes est plus grand dans la plus grande base.

57₁₆ (=87₁₀) > 57₁₀ > 57₈ (=47₁₀)

De même, un grand nombre aura besoin de moins de chiffres pour s'écrire dans une grande base naturelle que dans une petite.

F4240₁₆ (5 chiffres) = 1 000 000₁₀ (7 chiffres) = 11111 0100 0010 0100 0000₂ (21 chiffres)

$10 < 1$ en base n, avec n appartenant à l'intervalle ]0;1 $10 = 1$ en base 1, et $10 > 1$ en base n, avec n appartenant à l'intervalle 1;+∞[.

Culture

On ne sait pas encore si le nombre π ne présenterait pas une répétition dans ses chiffres dans d'autres bases que le binaire et le décimal.
Boby Lapointe avait imaginé un usage comique du système hexadécimal, qu'il avait baptisé Système bibi-binaire.
La RFC 1924 propose la base 85 pour la notation des adresses IPv6... mais ce n'est qu'un poisson d'avril :-)

Articles connexes

Arithmétique

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