Soit un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme et lancé avec une vitesse initiale de composantes Vo.cosA et Vo.sinA ; Vo s'appelle la vitesse et A l'angle de hauteur.

Torricelli a historiquement complètement traité ce problème dans le vide parabole de sûreté. Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers ( à cause de la résistance de l'air).

La balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici; sinon la trajectoire du mobile devient alors celle d'un "satellite" terrestre.( cf satellite artificiel.

Références

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la description assez complète se trouve dans les traités de Charbonnier (,traité de balistique extérieure, 1921) de Ottenheimer ( Balistique extérieure,1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65). Une référence plus récente est : Moulton, balistique extérieure. de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport.

Mouvement : asymptote

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L'analyse des forces , poids et résistance fluide r(v): = mg f(v), montre que la courbe est concave vers le bas : quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale , A(t) , diminue de sa valeur initiale Ao à -90°: - A(t),fonction croissante monotone , peut être avantageusement choisi comme échelle de temps.

Hodographe

Les équations de Frenet donnent alors:

• dv/dt = -g sinA -g.f(v)
• mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

Puis : dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA

Soit en éliminant dt : dv/dA = v.tanA + v.f(v)/cosA ( équation(B))

équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'hodographe en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°, v tend vers une limite :f(V1) = 1.

La trajectoire en coordonnées intrinsèques est R = V²(A)/(g.cosA).

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) > v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. vitesse aréolaire).

Asymptote

L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :

• la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
• et x(A) est donc borné ! y(A) tendant vers -$\backslash infty$

C'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs!

Cas intégrables

L'équation (B) s'appelle équation fondamentale de la Balistique.

• Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation (B) est alors une équation de Bernoulli, et s'intègre comme telle (la nouvelle fonction inconnue est X(A)= 1/f), et on obtient une equation différentielle linéaire du premier ordre en X(A).
• Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.
• En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie.

Le cas irréaliste linéaire

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Ce cas est étudié, non pour son réalisme, mais parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement.

L'équation différentielle est : dv/dt = g - g/V1. v

Soit v = V1 + ( Vo-V1)exp -t/T (l'hodographe est une droite), puis

• x(t) = Vo.cosAo/T ( 1 - exp-t/T)
• z(t) = -gtT + (gT² + VoT.sinAo)(1- exp-t/T)

Le système d'unités naturelles du problème est : temps : Vo.sinAo/g ou bien T longueur horizontale : Xo := Vo²/g . sinAo.cosAo longueur verticale : Zo := Vo²/g . sinAo.sinAo ( le problème est affine),

le seul paramètre sans dimension étant k : = Vo.sinAo/V1.

L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée est :

pour z=0 , x = Xo/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)< 0.0025.

(Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination:pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demisomme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

Le cas assez réaliste : résistance en v²

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On est contraint de recourir à des abaques en se référant toujours au S.U.N. (système d'unités naturelles ) décrit précédemment. Alors , encore une fois , toutes les trajectoires s'expriment à l'aide du seul paramètre k = (Vo/V1)².sinAo . L' hodographe se calcule, mais sans propriété simple, à part sa non-symétrie.

On attend encore une formule empirique du type trouvé pour le cas linéaire.

Enfin , pour les tirs assez lointains, il faut tenir compte de ce que le projectile monte suffisamment haut et donc la masse volumique de l'air change, ce qui exige une modélisation plus fine.

Sur Terre, il ne faut pas oublier la déviation de Coriolis ( cf la Grosse Bertha).

Cas des balles en rotation

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Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c'est à dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à Vo, alors la trainée et la portance restent dns le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive , la trajectoire peut même présenter des boucles ! Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont bien connus au ping-pong ou au tennis.

Evidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc du foot-ball le démontre expérimentalement très bien.

Histoire des sciences

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Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, ballistes, pierrières, trébuchets, puis canons, la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de chute libre, au grand dam des artilleurs. Mais il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie. Puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°. Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens.

Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par Galilée, puis par Torricelli : cette idée osée de partir du résultat de la trajectoire dans un fluide evanescent au point de dire le "grosso" vide ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était "composition" des mouvements Vo.t et 1/2 g.t², et que le Vo de départ pouvait être compté "comme rien". Le XVIIe sera celui où la notion d'unités se dégage peu à peu grâce à un effort intense entre H. More et Descartes, Wallis, et surtout Newton puis Leibniz.

Voir aussi

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• de Mestre : cas du sport.
• Grosse Bertha.
• chute avec résistance de l'air
• chute libre et parabole de sûreté, pour mémoire
• parabole de sûreté
• ellipse de sûreté

Voir aussi

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• Appell : traité de mécanique rationnelle
• Whittaker : analytical dynamics

Mécanique

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