Matematiikka

Math lecture at TKK.JPG:lla]] Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn perustuva looginen järjestelmä. Siinä käsitellään määriä, rakenteita, muutosta ja avaruuksia. Matemaattisen formalismin mukaan matematiikka on aksiomaattisesti määriteltyjen abstraktien rakenteiden tutkimista symbolisen logiikan ja matemaattisen merkintäjärjestelmän keinoin. Matematiikkaa käytetään fysikaalisten ja käsitteellisten suhteiden ilmaisemisen kielenä, jonka kielioppi ja käsitteistö on määritelty äärimmäisen tarkkaan. Tämä mahdollistaa asioiden ilmaisemisen yksikäsitteisesti.

Matematiikka ei tutki ympäröivää, fysikaalista maailmaa, vaan käsitteellisiä riippuvuussuhteita. Tämän takia sitä ei yleensä lueta luonnontieteisiin. Vaikka usein matematiikan tutkimusongelmat tulevat luonnontieteistä, erityisesti fysiikasta, tutkitaan matematiikassa myös puhtaasti matematiikan sisäisiä alueita, joille ei ole (vielä) löydetty sovellusalueita millään muulla tieteenalalla. Tällaiset matematiikan sisäisten tutkimusten tulokset voivat antaa hyödyllisiä työkaluja muiden matematiikan alueiden tutkimuksissa. Matematiikan tutkija - matemaatikko - näkee matematiikan usein enemmänkin taiteena kuin tieteenä. Matemaatikolle matematiikasta voi löytyä sellaista kauneutta, jota ei muualla ole.

Yleiskatsaus

Sana matematiikka tulee kreikan sanasta μάθημα (máthematiké), joka tarkoittaa tiedettä, tietoa tai oppimista; μαθηματικός (mathematikós) tarkoittaa "halukas oppimaan".

Matematiikan pääalueet syntyivät käytännön tarpeista. Laskutaito oli hyödyllinen niin kaupankäynnissä, maanmittauksessa kuin astronomisten tapahtumien ennustamisessakin. Matematiikka on siis alun perin muiden tieteiden (lähinnä luonnontieteiden) työkalu ja tutkimustulosten eksakti ilmaisuväline. Matematiikan avulla voidaan teoreettisesti tarkastella käytännössä havaittuja asioita ja tehdä näistä tutkimustuloksista johtopäätöksiä.

Matematiikan pääosiksi mainitaan tavallisesti algebra, analyysi ja topologia, jotka jakaantuvat moniin osa-alueisiin.

Rakenteen tutkiminen alkaa numeroista ja luvuista, joista tutuimpia ovat luonnolliset luvut ja kokonaisluvut sekä näihin liittyvät laskutoimitukset. Lukuteoria tutkii lukujen syvempiä ominaisuuksia. Yhtälöiden ratkaisemisessa tarvittavien menetelmien tutkimus johtaa abstraktiin algebraan, jossa tutkitaan algebrallisia rakenteita ja niihin liittyviä laskutoimituksia.

Avaruuksien tutkiminen saa alkunsa geometriasta; ensin kehitettiin trigonometria ja euklidinen geometria. Myöhemmin näistä kehitettiin epäeuklidinen geometria.

Matemaatikot loivat lukuisia välttämättömiä käsitteitä tietokoneita kehitettäessä; näistä kehittyi edelleen informaatioteoria.

Tärkeitä teemoja matematiikassa

Seuraava lista antaa vain yhden mahdollisen näkemyksen.

Kvantiteetti

Kvantiteetti alkaa laskemalla ja mittaamalla

{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"

1, 2, \ldots

\ldots, -1, 0, 1, \ldots

\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots

\pi, e, \sqrt{2},\ldots

i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots

Luonnollinen luku Kokonaisluku Rationaaliluku Reaaliluku Kompleksiluku

Rakenne

Ajatuksia koosta, symmetriasta ja matemaattisesta rakenteesta.

{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" || Impossible_cube_illusion_angle.png || GroupDiagramD6.png || Lattice of the divisibility of 60.svg Aritmetiikka Lukuteoria Abstrakti algebra Ryhmäteoria Järjestysteoria

Avaruus

Visuaalisempi lähestymistapa matematiikkaan.

{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" || Taylorsine.png || OsculatingCircle.png || Torus.jpg || Koch curve.png Geometria Trigonometria Differentiaaligeometria Topologia Fraktaaligeometria

Muutos

Tapa ilmaista ja käsitellä muutosta matemaattisissa funktioissa ja lukujen välillä.

{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20" || Vectorfield_jaredwf.png ||

\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c

|| Limitcycle.jpg || LorenzAttractor.png Matemaattinen analyysi Vektorilaskenta Differentiaaliyhtälöt Dynaamiset järjestelmät Kaaosteoria

Perusteet ja metodit

Lähestymistapoja ymmärtämään matematiikan luonnetta.

{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" || MorphismComposition-01.png Matemaattinen logiikka Joukko-oppi Kategoriateoria

Diskreetti matematiikka

Diskreetti matematiikka sisältää tekniikoita, jotka pätevät objekteihin, jotka voivat ottaa vain tiettyjä, erillisiä arvoja.

{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" || Caesar3.png || 6n-graf.png Kombinatoriikka Laskennan teoria Kryptografia Graafiteoria

Sovellettu matematiikka

Sovellettu matematiikka käyttää täyttä matematiikan tietoa ratkaisemaan tosielämän ongelmia.

Matemaattinen fysiikka – Mekaniikka – Numeerinen analyysi – Todennäköisyys – Tilastotiede – Matemaattinen talous – Finanssimatematiikka – Peliteoria – Matemaattinen biologia – Kryptografia

Tärkeitä teoreemia

Nämä teoriat ovat kiinnostaneet matemaatikkoja ja ei-matemaatikkoja.

De Moivren kaava- Eulerin lause - Fermat'n suuri lause - Goldbachin väittämä - Poincarén väittämä - Pythagoraan teoreema - Riemannin hypoteesi

Tärkeitä konjektuureja

Nämä ovat joitain suurimmista ratkaisemattomista ongelmista matematiikassa. Katso myös luettelo ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista.

Goldbachin konjektuuri – Riemannin hypoteesi – Poincarén konjektuuri – Collatzin konjektuuri – P=NP? – avoimet Hilbertin ongelmat.

Katso myös

Kirjallisuutta

Carl Boyer: Tieteiden kuningatar, matematiikan historia osat I ja II. Art House, 2000. ISBN 951-884-159-4
Michael Guillen: Silta äärettömyyteen - Matematiikan inhimillinen puoli, Terra Cognita, 1997 ISBN 952-5202-01-1

Linkkejä