Joukko

Tämä artikkeli tulisi liittää Joukko-oppi artikkeliin: siitä tämä artikkeli kertoo.

Joukko-opin perustaja Georg Cantor määritteli joukon olevan toisistaan erotettavien objektien (olioiden) yhdistelmä. Näitä objekteja kutsutaan joukon alkioiksi, ja ne voivat olla ihmisen havaintoon tai ajatukseen perustuvia. Oleellista on tietää mistä tahansa objektista kuuluuko se tiettyyn joukkoon vai ei.

Joukon käsite on nykyisin tärkeä kaikilla matematiikan alueilla. Matemaattisesti tärkeimpiä ovat niin sanotut lukujoukot, joiden alkiot ovat lukuja.

Joukot voidaan esittää luettelomuodossa tai tietyn säännön avulla. Lisäksi joukko voi olla päättyvä tai päättymätön, eli äärellinen tai ääretön.

Joukoissa ei alkioiden järjestyksellä ole merkitystä, toisin on esimerkiksi järjestettyjen parien ja lukujonojen kanssa.

Joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja, kutsutaan perheeksi tai joukkoperheeksi. Esimerkiksi sigma-algebra on joukkoperhe.

Esimerkkejä

Lukujen 1 ja 10 välillä olevien alkulukujen joukko on {2, 3, 5, 7}.
Luonnollisten lukujen joukko, {0, 1, 2, 3, ...} tai {1, 2, 3, ...} määritelmästä riippuen, on ääretön lukujoukko.
Parillisten luonnollisten lukujen joukko on {0, 2, 4, 6, 8, ...} tai {2, 4, 6, 8, ...}.
Päävärien muodostama joukko on {punainen, keltainen, sininen}.

Avoin joukko

Joukon A osajoukko B on avoin joukko, jos jokaisella B:n pisteellä on ympäristö, joka sisältyy B:hen.

Lisämääritelmiä

Operaatioita:

Joukkoihin liittyviä symboleita

a \not\in A

"alkio a ei kuulu joukkoon A"

B \subset A

"joukko B on joukon Aosajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio". Joskus merkitään

B \subseteq A

$B \subset A$ "joukko B on joukon A (aito) osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio (mutta B ≠ A)".

- bgcolor="#a0e0a0"	Symboli	Miten luetaan?	Määritelmä	-	$\in$ $\not\in$	$a \in A$ "alkio a kuuluu joukkoon A"		-	$\subset$ $\subseteq$		$B \subset A$ , kun kaikilla $b \in B$ pätee $b \in A$ , ts. $\forall b \in B: b \in B \Rightarrow b \in A$	-	=	A = B "Joukot A ja B ovat samat"	A = B jos ja vain jos $A \subset B$ ja $B \subset A$ .	-	$\cup$	$A \cup B$ "A unioni B", "Joukkojen A ja B yhdiste"	A \cup B = $\{x \in E > x \in A \vee x \in B\}$ = {Joukkojen A ja B kaikkien alkioiden joukko} (Tässä E on niin sanottu perusjoukko.)	-	$\cap$	$A \cap B$ "A leikkaus B"	A \cap B = $\{x \in E > x \in A\ \wedge x \in B\}$ = {Joukkojen A ja B yhteiset alkiot}	-	\	A \ B "A miinus B"	A \ B = $\{x \in E > x \in A \wedge x \not\in B\}$ = {Kaikki ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon A mutta eivät kuulu joukkoon B}	-	A^c	A^c "A:n komplementti"	A^c = $\{x \in E > x \not\in A\}$ = {Kaikki ne alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A}	-	$\mathcal{P}(A)$	$\mathcal{P}(A)$ "A:n potenssijoukko"	$\mathcal{P}(A)$ = {Kaikki A:n osajoukot}

Aiheesta muualla

Wikikirjaston kirja joukko-opista

Joukko-oppi

Gourt Home::Gourt :: Joukko

Esimerkkejä

Avoin joukko

Lisämääritelmiä

Aiheesta muualla