Joukon alkio on neutraalialkio eli identiteettialkio eli yksikköalkio jonkin joukossa määritellyn binaarioperaattorin suhteen, jos se yhdistettynä tähän operaattoriin jättää muut joukon alkiot ennalleen. Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio reaalilukujen joukossa on 1, sillä mikä tahansa kerrottuna yhdellä on luku itse.

Neutraalialkiosta voidaan myös käyttää nimeä identiteetti, jollei sekaantumisen vaaraa sanan identiteetti muihin merkityksiin ole.

Olkoon * joukossa S määritelty binäärioperaattori. Joukon S alkio e on vasemmanpuoleinen identiteetti operaattorin * suhteen, jos $e\; *\; a\; =\; a$ kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla a. Samoin jos $a\; *\; e\; =\; a$ kaikilla joukkoon S kuuluvilla alkioilla a, on e oikeanpuoleinen identiteetti operaattorin * suhteen. Jos alkio on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen identiteetti, kutsutaan sitä molemmanpuoleiseksi identiteetiksi tai yksinkertaisesti pelkäksi identiteeksi. Operaattoreilla, joilla on voimassa vaihdantalaki, ei voida erotella eripuoleisia identiteettejä.

Esimerkkejä

Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (S,×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä v:llä ja oikeaa o:lla. Tällöin v = v × o = o. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.

Katso myös

• Käänteisalkio
• Ryhmä
• Monoidi

Abstrakti algebra

عنصر حيادي | Element neutre | Neutrální prvek | Neutrales Element | Ühikelement | Identity element | Elemento neutro | Élément neutre | 항등원 | Elemento neutro | איבר יחידה | Neutrális elem | Neutraal element | 単位元 | Element neutralny | Elemento neutro | Neutrálny prvok | Enak element | Neutralt element | Phần tử đơn vị | 單位元