Kombinatorisessa matematiikassa joukon alkioiden kombinaatio on joukon alijoukko. k-kombinaatio on joukon S alijoukko, jossa on k kappaletta jäseniä. Jäsenten listausjärjestyksellä ei ole väliä kombinaatioissa - kaikki joukot, jotka voidaan muodostaa vaihtamalla jäsenten järjestystä esittävät samaa kombinaatiota.

k-kombinaatioiden määrä on sama kuin binomikerroin "n yli k:n", joka kirjoitetaan yleensä

$\{n\; \backslash choose\; k\}\; =\; \backslash frac\{n!\}\{k!(n-k)!\}$

Myös kirjoitusasu C(n, k) on tavallinen sen käyttökelpoisuuden vuoksi tekstirivillä.

Esimerkkejä

Esim. 1.

C(7, 3) kertoo, kuinka monta erilaista kolmen hengen ryhmää voidaan muodostaa seitsemän henkilön joukosta. Lasketaan se:

$\{7\; \backslash choose\; 3\}\; =\; \backslash frac\{7!\}\{3!(7-3)!\}\; =\; \backslash frac\{7\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; 5\; \backslash cdot\; 4!\}\{3!\; \backslash cdot\; 4!\}\; =\; \backslash frac\{7\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; 5\}\{3!\}\; =\; \backslash frac\{7\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; 5\}\{6\}\; =\; 7\; \backslash cdot\; 5\; =\; 35.$

Esim. 2.

Lasketaan todennäköisyys sille, että saadaan lotossa tasan k numeroa oikein $(0\; \backslash le\; k\; \backslash le\; 7)$:

Lasketaan ensiksi kaikkien niiden lottorivien määrä, joissa on tasan k numeroa oikein. Tämä saadaa laskemalla kaikki 7:n oikean numeron k-kombinaatiot, joka siis kertoo, kuinka monella tavalla 7:stä numerosta voidaan valita k numeroa (muista, että k on korkeintaan 7):

$\{7\; \backslash choose\; k\}$

Nyt väärät numerot voivat olla mitä vain, vaikka selvästikin niiden muodostamat osajoukot vaikuttavat lopullisten rivien määrään. Ongelma ratkaistaankin kertomalla yllä oleva luku kaikkien 32 arpomatta jääneiden numeroiden (7-k) kombinaatiolla, eli kaikilla mahdollisilla väärin menneiden numeroiden kombinaatioilla:

$\{7\; \backslash choose\; k\}\; \{32\; \backslash choose\; 7-k\}$

siis kertoo, kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan muodostaa, joissa on täsmälleen k numeroa oikein ja 7-k väärin.

Kysytty todennäköisyys tapahtumalle saadaan, kun saatu luku jaetaan kaikkien mahdollisten lottorivien lukumäärällä $\{39\; \backslash choose\; 7\}$:

$\{7\; \backslash choose\; k\}\; \{32\; \backslash choose\; 7-k\}\; :\; \{39\; \backslash choose\; 7\}$

Siten esimerkiksi todennäköisyys saada lotossa viisi oikein on

$\{7\; \backslash choose\; 5\}\; \{32\; \backslash choose\; 7-5\}\; :\; \{39\; \backslash choose\; 7\}\; =\; \{7\; \backslash choose\; 5\}\; \{32\; \backslash choose\; 2\}\; :\; \{39\; \backslash choose\; 7\}\; =\; 21\; \backslash cdot\; 496\; :\; 15\; 380\; 937\; =\; 10416\; :\; 15\; 380\; 937\; =\; 1\; :\; 1476\; =\; 0.00067$

Katso myös

Permutaatio

Joukko-oppi | Kombinatoriikka

Kombinatorik#Kombination ohne Zurücklegen | Combination | Combinaison | 조합 | Combinazione | Combinatie (wiskunde) | 組合せ (数学) | Kombinacja | Combinação | Сочетание | Комбинација | Kombination (matematik) | 組合