Beerin ja Lambertin laki on spektroskopiassa havaittu laki, jonka mukaan sähkömagneettisen säteilyn absorboituminen riippuu absorboivan aineen määrästä eksponentiaalisesti. Lain avulla voidaan esimerkiksi selvittää väriaineiden pitoisuuksia liuoksessa spektrofotometria hyväksi käyttäen. Laista käytetään myös nimiä Beerin laki, Lambertin–Beerin laki ja Beerin–Lambertin–Bouguer’n laki.

Yhtälöt

---

Beer_lambert.png, jonka pituus on l.]] Beerin ja Lambertin laki esitetään tavallisesti muodossa A = ε b c, missä A on absorbanssi, ε molaarinen absorptiokerroin, b näytteen paksuus ja c absorboivan aineen konsentraatio. Piirtämällä absorbanssi konsentraation funktiona saadaan lain pätevyysalueella suora. Absorbanssi on A = −lg T, missä T on transmittanssi eli läpi päässeen säteilyn intensiteetti I jaettuna säteilyn alkuperäisellä intensiteetillä I₀ (intensiteetin sijasta pitäisi oikeastaan puhua spektrisestä säteilytehosta P_λ). Beerin ja Lambertin lain toinen esitysmuoto on:

$T\; =\; \backslash frac\{I\}\{I\_0\}\; =\; 10^\{-\backslash varepsilon\; b\; c\}.$

Lain mukaan läpi pääsevän valon voimakkuus pienenee eksponentiaalisesti absorboivan aineen määrän kasvaessa. Valosta pidättyy samanpaksuisissa kerroksissa yhtä suuri osuus: jos valon voimakkuus pienenee ensimmäisessä kerroksessa 70 prosenttiin alkuperäisestä, seuraavan samanlaisen kerroksen jälkeen valosta on jäljellä 49 prosenttia, sillä 0,7 · 0,7 = 0,49. Jälkimmäisessä kerroksessa absorboituu vähemmän fotoneja.

Absorbansseja voidaan laskea yhteen. Jos näytteessä on aineet 1 ja 2, näytteen absorbanssi on aineiden absorbanssien summa: A = b(ε₁ c₁ + ε₂ c₂). Konsentraatioiden selvittämiseksi tulisi mitata absorbanssit kahdella eri taajuudella siten, että näillä taajuuksilla toinen aine absorboi mahdollisimman paljon ja toinen mahdollisimman vähän. Jotta syntyvä yhtälöpari voidaan ratkaista, täytyy lisäksi tietää aineiden absorptiokertoimet käytetyillä taajuuksilla. Ne voidaan selvittää mittaamalla kummankin aineen absorbansseja tunnetuilla konsentraatioilla ja laskemalla konsentraatio–absorbanssi-kuvaajan kulmakerroin.

Beerin ja Lambertin lain tavallisin esitysmuoto voidaan laskea seuraavista lähtökohdista, jotka jo sinänsä sisältävät lain periaatteet: Kun säteily kulkee infinitesimaalisen lyhyen matkan dx läpi, sen intensiteetti pienenee dI:llä. Absorption määrä on suoraan verrannollinen absorboivan aineen määrään eli konsentraatioon c ja kerroksen paksuuteen dx sekä Fermin kultaisen säännön perusteella myös säteilyn intensiteettiin. Siten voidaan kirjoittaa: dI = −kcI dx, missä k on verrannollisuuskerroin. Saatu differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista erottelemalla muuttujat ja integroimalla:

$\backslash int\_\{I\_0\}^\{I\}\backslash frac\{\backslash rm\{d\}I\}\{I\}\; =\; -\backslash int\_\{0\}^\{b\}kc~\backslash rm\{d\}x.$

Jos absorboiva aine on tasaisesti jakautunut, konsentraatio on vakio ja saadaan:

$\backslash ln\backslash frac\{I\}\{I\_0\}\; =\; -kbc.$

Luonnollinen logaritmi voidaan vaihtaa kymmenkantaiseksi. Jäljelle jäävä vakio sulautetaan absorptiokertoimeen yhtälön lg e · k = ε mukaisesti:

$\backslash ln\backslash frac\{I\}\{I\_0\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lg\backslash frac\{I\}\{I\_0\}\}\{\backslash lg\; e\}\; =\; -kbc~\backslash Leftrightarrow~A=-\backslash lg\backslash frac\{I\}\{I\_0\}\; =\; \backslash lg\; e~k\; b\; c\; =\; \backslash varepsilon\; b\; c.$

Molaarinen absorptiokerroin

---

Molaarinen absorptiokerroin ε (aikaisemmin ”ekstinktiokerroin” tai ”absorptiviteetti”) on sitä suurempi, mitä voimakkaammin säteily absorboituu. Väriaineiden absorptiokertoimet ovat yleensä suuria, joten pienetkin ainemäärät aiheuttavat voimakkaan värin. Kerroin riippuu säteilyn taajuudesta, absorboivasta aineesta, lämpötilasta sekä liuosmittauksissa käytettävästä liuottimesta.

Näyteastian eli kyvetin pituus ilmoitetaan yleensä senttimetreinä (cm) ja liuoksen konsentraatio mooleina kuutiodesimetriä kohti (mol/dm³). Tällöin absorptiokertoimen yksiköksi tulee mol⁻¹ cm⁻¹ dm³. Yksikkönä voi olla myös cm² mol⁻¹. Absorptiokerroin voidaan siten tulkita myös molaariseksi absorptiopoikkipinta-alaksi. Jos pitoisuus ilmoitetaan grammoina litraa kohden (g/l), absorptiokerrointa voidaan merkitä a:lla. Massapitoisuuksia käytetään varsinkin silloin, kun aineen moolimassaa ei tunneta.

Yhtä taajuutta vastaavan absorptiokertoimen ilmoittaminen ei välttämättä anna hyvää kuvaa eri taajuuksille levittäytyvän absorptiovyön voimakkuudesta. Kuvaavampi suure saadaan integroimalla absorptiokertoimet absorptiovyön taajuusalueella:

$\backslash alpha\; =\; \backslash int\; \backslash varepsilon(\backslash nu)~\backslash rm\{d\}\backslash nu.$

Suure α vastaa pinta-alaa taajuuden funktiona piirretyssä absorptiokerroinkuvaajassa.

Lain pätevyys

---

Suurilla konsentraatioilla konsentraatio–absorbanssi-kuvaaja taipuu konsentraatioakselia kohti eli absorbanssi on pienempi kuin sen Beerin ja Lambertin lain mukaan pitäisi olla. Laki soveltuu siten vain laimeille liuoksille. Koska väliainekin voi absorboida säteilyä, väliaineen spektri mitataan erikseen ilman näytettä ja näin saatu tausta vähennetään näytteen spektristä.

Laki pätee vain monokromaattiselle eli yhdestä taajuudesta koostuvalle säteilylle. Käytännössä säteilyn taajuusalueen on siis oltava kapea verrattuna spektrin viivanleveyksiin. Laki ei päde myöskään, jos säteily on hyvin voimakasta.

Beerin ja Lambertin lakia käytettäessä on otettava huomioon myös se, että aine voi reagoida. Esimerkiksi kromaatti- (CrO₄²⁻) ja dikromaatti-ionit (Cr₂O₇²⁻), joiden välillä on vedessä pH:sta riippuva tasapaino, absorboivat säteilyä eri tavalla. Myös näytteen fluoresenssi- tai fosforesenssisäteily sekä valon siroaminen tai kyvetin pinnasta heijastuminen aiheuttavat poikkeamaa Beerin ja Lambertin laista.

Historia

---

Ranskalainen Pierre Bouguer julkaisi valoa koskevia tutkimuksia vuonna 1729 kirjassaan Essai d’optique sur la gradation de la lumière. Hän käsitteli ajatusta siitä, että samanpaksuiset kerrokset pidättäisivät aina yhtä paljon säteilyä. Bouguer kuvaa, kuinka hän ohjasi 32 kynttilän tehoa vastaavan valomäärän kahden lasilevyn läpi ja jäljelle jäi 16 kynttilän teho. Kun hän ohjasi tämän valomäärän uudelleen kahden samanlaisen lasilevyn läpi, valo ei kuitenkaan hävinnyt. Vielä kymmenenkin lasilevyn jälkeen valoa oli jäljellä noin yhtä kynttilää vastaava määrä. Bouguer päätteli, että valon voimakkuus pienenee geometrisen sarjan eikä aritmeettisen sarjan mukaisesti. Samanpaksuinen kerros absorboi siis aina suhteellisesti yhtä paljon valoa.

JHLambert.jpg Saksalainen Johann Heinrich Lambert ilmaisi Bouguer’n havaitseman asian matemaattisesti vuonna 1760 teoksessaan Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae. Lambert tunsi Bouguer’n tulokset, mutta hänen lähestymistapansa oli teoreettisempi kuin Bouguer’lla.

Saksalainen August Beer julkaisi valon absorptiota käsittelevän tutkimuksensa Annalen der Physik und Chemie -lehdessä vuonna 1852. Hän käytti fotometrissään valonlähteenä kahta tarkasti säädettyä öljylamppua ja suodattimena punaista lasia. Säteiden voimakkuuksien mittaamisessa hän hyödynsi polarisaatiota Nicolin prismojen avulla. Beer tutki absorptiota useiden eri suolojen liuoksilla. Eräässä työssä hän täytti yhden desimetrin pituisen putken kuparisulfaattiliuoksella, jossa oli yksi tilavuusyksikkö väkevää liuosta ja yhdeksän tilavuusyksikköä vettä (1:9). Lisäksi hän täytti kahden desimetrin pituisen putken puolta laimeammalla liuoksella (1:19). Molemmissa tapauksissa hän sai mittaustarkkuuden rajoissa saman absorptiokertoimen.

Beer totesi mittaustensa pohjalta, että läpi pääsevän valon voimakkuus riippuu eksponentiaalisesti absorboivan aineen määrästä. Hän viittaa artikkelissaan lähinnä aineen määrään eikä konsentraatioon, joka esiintyy Beerin ja Lambertin lain nykymuodossa. Ranskalainen F. Bernard julkaisi Beeristä riippumatta samanlaisia tuloksia muutamaa kuukautta myöhemmin vuonna 1852 Annales de chimie et physique -lehdessä.

Lähteet

---

• IUPAC Compendium of Chemical Terminology (1997)
• Dorothy R. Malinin, John H. Yoe (1951). ”Development of the Laws of Colorimetry”, Journal of Chemical Education, 38, s. 129.

Spektroskopia

Lambert-Beersches Gesetz | Beer-Lambert law | Ley de Beer-Lambert | Loi de Beer-Lambert | Legge di Lambert-Beer | Prawo Lamberta-Beera | Закон Бугера — Ламберта — Бера | Lambertov-Beerov zákon | Absorpcijski zakon