Kui X ja Y on hulgad ja hulga X iga element on ühtlasi hulga Y element, siis öeldakse ja kirjutatakse:

• hulk X on hulga Y alamhulk ehk osahulk
• hulk X sisaldub hulgas Y;
• X ⊆ Y;
• hulk Y on hulga X ülemhulk;
• Y ⊇ X.

Iga hulk Y on iseenda alamhulk.

Hulga Y alamhulka, mis ei võrdu hulgaga Y, nimetatakse hulga Y pärisalamhulgaks. Kui X on hulga Y pärisalamhulk, siis kirjutatakse: X ⊂ Y. Analoogiline terminoloogia ja tähistus kehtib ülemhulkade puhul.

Binaarset seost "... on ... alamhulk" nimetatakse sisalduvusseoseks.

Tähistuse variandid

---

Mõnikord kasutatakse tähistust X ⊂ Y ka selleks, et märkida üles asjaolu, et X on Y alamhulk.

Näited

---

• Hulk {1, 2} on hulga {1, 2, 3} pärisalamhulk.
• Hulk {1, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} pärisalamhulk.
• Hulk {1, 2, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk, kuid mitte pärisalamhulk.
• Hulk {1, 2, 4, 5} ei ole hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk.
• Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga pärisalamhulk.
• Naturaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga pärisalamhulk.
• Ratsionaalarvude hulk on reaalarvude hulga pärisalamhulk.
• Täisarvude hulk ei ole naturaalarvude hulga alamhulk.
• Hulk {x : x on 2000-st suurem algarv} on hulga {x : x on 1000-st suurem paaritu arv} pärisalamhulk.
• Ruutude hulk on rombide hulga pärisalamhulk ja ristkülikute hulga alamhulk.
• Rombide hulk ei ole ristkülikute hulga alamhulk.
• Mis tahes hulk on iseenda alamhulk, kuid mitte iseenda pärisalamhulk.
• Tühi hulk $\backslash varnothing$ on mis tahes hulga Y alamhulk. (See on tühi tõde.) Tühi hulk on alati pärisalamhulk, välja arvatud iseenda puhul.

Alamhulkade omadusi

---

Lause 1: Iga hulk A on iseenda alamhulk (refleksiivsus).

Lause 2: Kaks hulka A ja B on võrdsed siis ja ainult siis, kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk (antisümmeetrilisus).

Lause 3: Mis tahes kolme hulga A, B ja C puhul kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis A on hulga C alamhulk (transitiivsus).

Lause 4: Tühi hulk on iga hulga alamhulk.

Tõestus: Olgu antud mis tahes hulk A. Me tahame tõestada, et $\backslash varnothing$ on hulga A alamhulk. Selleks tuleb näidata, et hulga $\backslash varnothing$ kõik elemendid on hulga A elemendid. Aga hulgas $\backslash varnothing$ ei ole elemente.

Kogenud matemaatiku jaoks on arutlus "hulgal $\backslash varnothing$ ei ole elemente, järelikult kõik hulga $\backslash varnothing$ elemendid on hulga A elemendid" ilmne, kuid algaja jaoks ei pruugi asi nii lihtne olla. Kui hulgal $\backslash varnothing$ ei ole üldse elemente, kuidas "nad" siis saavad millegi muu elemendid olla? Sellest on võib-olla lihtsam aru saada, kui asja teistpidi vaadata. Selleks et tõestada, et hulk $\backslash varnothing$ ei ole hulga A alamhulk, tuleks leida hulga $\backslash varnothing$ element, mis ei ole ühtlasi hulga A element. Et hulgas $\backslash varnothing$ elemente ei ole, siis see on võimatu ning seetõttu on $\backslash varnothing$ tõepoolest hulga A alamhulk.

Laused 1, 2 ja 3 näitavad, et ⊆ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil. Lause 4 näitab, et $\backslash varnothing$ on selles osalises järjestuses vähim element.

Karakteristlik funktsioon

---

Hulga B alamhulga $A$ saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni $\backslash chi\_A\backslash \; :\; B\backslash rightarrow\backslash \{0,1\backslash \}$ kaudu:

$\backslash forall\; b\backslash in\; B,\; \backslash chi\_A(b)=1\backslash Leftrightarrow\; b\backslash in\; A$.

χ_A(b) võrdub 1, kui b on hulga A element, vastasel korral võrdub 0.

Vaata ka

---

• potentshulk (mingi hulga kõigi alamhulkade hulk)

Matemaatika | Hulgateooria

Падмноства | Podmnožina | Teilmenge | Subset | Subconjunto | Sous-ensemble | 부분집합 | Hlutmengi | Sottoinsieme | תת קבוצה | Deelverzameling | 部分集合 | Podzbiór | Подмножество | Podmnožica | Osajoukko | Delmängd | Підмножина | 子集