Lógica simbólica o lógica matemática es una disciplina de las matemáticas que estudia los sistemas formales, así como conceptos tales como demostración matemática y computación; todo ello como parte de los fundamentos de las matemáticas. Comprende aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas matemáticamente. Lógica simbólica fue una de las primeras denominaciones, surgida como distinción a lógica filosófica; también denominada a veces metamatemática.

Historia

Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde un punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos, tales como Leibniz y Johann Heinrich Lambert|Lambert; pero su labor permaneció desconocida y aislada.

Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de las matemáticas.

El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelo).

Algunos autores importantes han sido Gottlob Frege, Charles Peirce, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead (con Principia Mathematica), y el muy importante Kurt Gödel con su Teorema de la incompletud de Gödel|teorema de incompletitud.

Tópicos de la lógica matemática

Las principales áreas de la lógica matemática incluyen teoría de modelos, teoría de pruebas, teoría de la computabilidad, también se puede incluir la teoría de conjuntos. En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking.

También el isomorfismo de Curry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas.

Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria han devenido, incluso, en auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.

Lógica proposicional

Proposiciones. Formalmente, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediantes letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser:

• Tautología: es la sentencia que es verdadera.
• Contradicción: es la sentencia que es falsa.
• Contingencia: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.

Lenguaje proposicional

Sintaxis: El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias. Está constituido por:

• Símbolos de veracidad: V para verdadero y F para falso.
• Símbolos de variables: p, q, r, s, ...
• Símbolos de conectivas: ¬, ∧, ∨, XOR, →, ↔
• Símbolos de puntuación: ( , ), para evitar ambigüedades.

Reglas de formación. Las clases de sentencias bien formadas se definen por reglas puramente sintácticas, llamadas reglas de formación, y que son:

• Una variable proposicional es una sentencia bien formada.
• Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.
• Dos sentencias bien formadas unidas por una de las partículas conectivas binarias constituye una sentencia bien formada.
• Se pueden omitir los paréntesis que encierran una sentencia completa.
• El estilo tipográfico de los paréntesis se puede variar para hacerlos más evidentes usando corchetes y llaves.
• A las conjunciones y disyunciones se les puede permitir tener más de dos argumentos.

Conectivas. Las conectivas se dividen por su aplicación en:

• Singulares: se aplican a una única sentencia.
• Binarias: se aplican a dos sentencias.

Por su definición, también se pueden dividir en:

• Primitivas: las variables proposicionales, los paréntesis y las conectivas ¬ y ∨.
• Definidas: las conectivas ∧, →, ↔, y XOR.

Tablas de verdad

La tabla de verdad de una sentencia es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la sentencia y el valor de verdad de la sentencia para cada interpretación.

Semántica

• Negación (¬)

Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.

• Disyunción (∨)

La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.

• Conjunción (∧)

Es una conectiva que puede definirse como la composición:

p ∧ q = ¬(¬p ∨ ¬q)

La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.

• Condicional (→)

Es una conectiva definida por:

p → q = ¬p ∨ q

La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es válido p entonces lo es q.

• Bicondicional (↔, si y sólo si)

Es una conectiva definida por:

p ↔ q = ((p → q) ∧ (q → p))

La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.

• Disyunción exclusiva (XOR)

Es una conectiva definida por:

p XOR q = ¬(p ↔ q)

La sentencia será verdadera sólo cuando una de las dos variables proposicionales sea verdadera.

Axiomas y reglas

Los axiomas para el cálculo proposicional son:

1. (p ∨ p) → p
2. q → (p ∨ q)
3. (p ∨ q) → (q ∨ p)
4. (p → q) → (r ∨ p) → (r ∨ q)

A partir de estos axiomas y aplicando las dos reglas de transformación siguientes se puede demostrar cualquier teorema:

• Regla de sustitución: el resultado de reemplazar cualquier variable en un teorema por una sentencia bien formada es un teorema.
• Regla de separación: si S y (S → R) son teoremas, entonces R es un teorema.

Relativo a un criterio de validación, un sistema axiomático debe cumplir las siguientes propiedades:

• Debe ser lógico o razonable: en el sentido de que todo teorema es una tautología.
• Completo: toda sentencia bien formada válida es un teorema y se debe poder demostrar a partir de los axiomas.
• Consistente: no se pueden demostrar como teoremas, sentencias bien formadas que no sean tautologías.
• Deben ser independientes: ningún axioma debe ser derivable a partir de los otros.

Debido a que los computadores trabajan con información binaria, la herramienta matemática adecuada para el análisis y diseño de su funcionamiento es el Álgebra de Boole. El Algebra de Boole fue desarrollada inicialmente para el estudio de la lógica. Ha sido a partir de 1938, fecha en que Claude Shannon publicó un libro llamado "Análisis simbólico de circuitos con relés", estableciendo los primeros conceptos de la actual teoría de la conmutación, cuando se ha producido un aumento considerable en el número de trabajos de aplicación del Algebra de Boole a los computadores digitales. Hoy en día, esta herramienta resulta fundamental para el desarrollo de los computadores ya que, con su ayuda, el análisis y síntesis de combinaciones complejas de circuitos lógicos puede realizarse con rapidez

Lógica de predicados

Lenguajes y estructuras de primer orden

Un lenguaje de primer orden' $\backslash mathfrak\{L\}\backslash ,$ es una colección de distintos símbolos clasificados como sigue:

1. El símbolo de igualdad $=\backslash ,$; las conectivas $\backslash lor\backslash ,$, $\backslash lnot\backslash ,$; el cuantificador universal $\backslash forall\backslash ,$ y el paréntesis' $(\backslash ,$, $)\backslash ,$.
2. Un conjunto contable de símbolos de variable $\backslash \{v\_i\backslash \}\_\{i\; =\; 0\}^\backslash infty\backslash ,$.
3. Un conjunto de símbolos de constante $\backslash \{c\_\backslash alpha\backslash \}\_\{\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash Alpha\}\backslash ,$.
4. Un conjunto de símbolos de función $\backslash \{f\_\backslash beta\backslash \}\_\{\backslash beta\; \backslash in\; \backslash Beta\}\backslash ,$.
5. Un conjunto de símbolos de relación $\backslash \{R\_\backslash gamma\backslash \}\_\{\backslash gamma\; \backslash in\; \backslash Gamma\}\backslash ,$.

Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.

Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semántica apropiada.

Una $\backslash mathfrak\{L\}\backslash ,$-estructura sobre el lenguaje $\backslash mathfrak\{L\}\backslash ,$, es una tupla consistente en un conjunto no vacío $A\backslash ,$, el universo del discurso, junto a:

1. Para cada símbolo constante $c\backslash ,$ de $\backslash mathfrak\{L\}\backslash ,$, tenemos un elemento $c^\{\backslash mathfrak\{A\}\}\; \backslash in\; A\backslash ,$.
2. Para cada símbolo de function $n\backslash ,$-aria $f\backslash ,$ de $\backslash mathfrak\{L\}\backslash ,$, una function $n\backslash ,$-aria $f^\{\backslash mathfrak\{A\}\}\; :\; A^n\; \backslash longrightarrow\; A\backslash ,$.
3. Para cada símbolo de relación $n\backslash ,$-aria $R\backslash ,$ de $\backslash mathfrak\{L\}\backslash ,$, una relación $n\backslash ,$-aria sobre $A\backslash ,$, esto es, un subconjunto $R^\{\backslash mathfrak\{A\}\}\; \backslash subseteq\; A^n\backslash ,$.

A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura.

Véase también

• Lógica proposicional
• Lógica de primer orden

Lógica

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