Conmutatividad

Sea E un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna *, es decir una aplicación:

\begin{matrix} E \times E & \longrightarrow & E \\
                      (x,y) & \longmapsto & x \star y 
\end{matrix}

Se dice que * es conmutativa si verifica para todo (x,y) de E×E la igualdad x * y = y * x. Escrito formalmente:

\forall (x,y) \in E^2, \quad x \star y = y \star x.

Conmutatividad_por_diagrama.png Este diagrama ilustra la conmutatividad: p es la permutación de las variables x e y. Da el mismo resultado recorrer la flecha horizontal, es decir aplicar la operación * que recorrer la flecha vertical (permutar las variables) y luego la diagonal (aplicar * ).

Estos diagramas, donde el resultado no depende del trayecto sino sólo del punto de partida y el de llegada se llaman diagramas conmutativos (sí, con la misma palabra). Se suele indicar esta propiedad con un círculo inscrito en el "ciclo".

Ejemplos y contraejemplos:

En el conjunto C de los números complejos, y por restricción, en el conjunto R de los números reales, la suma (adición) y el producto (multiplicación) son operaciones conmutativas.
La suma en los espacios vectoriales es conmutativa.
La suma de funciones también.
La reunión y la intersección en la teoría de conjuntos y más generalmente la suma y el producto de las álgebras de Boole.

Por convención, si una operación se escribe con el símbolo +, siempre se supone que es conmutativa.

Esta convención no es válida para el producto × ni · pues, por ejemplo, el producto de matrices no es conmutativo en dimensión superior a 1, ni el de los números cuaterniones. El producto vectorial tampoco lo es.

Simetría_por_diagrama.png Se generaliza el concepto a toda clase de aplicaciones (aquí el dominio y el codominio no tienen relación a priori) de dos ó más variables, y se habla de "simetría" en vez de conmutatividad:

f, función de dos variables es simétrica si para todo (x,y), f(x,y) = f(y,x).
Una función de n variables es simétrica si no cambia su valor cuando se permuta sus argumentos: con tres variables se obtiene:

f(x,y,z) = f(y,z,x) = f(z,x,y) = f(x,z,y) = f(z,y,x) = f(y,x,z).

Estas propiedades están contenidas en el diagrama conmutativo siguiente:

donde p es la permutación de dos variables, id es la aplicación identidad.
El diagrama se resume en: f o (p×id) = f o (id×p) = f, donde o denota la composición de las funciones.

En álgebra lineal, existe un concepto "opuesto": la antisimetría, propiedad que dice que la permutación de dos variables implica un cambio de signo: f(y,x) = - f(x,y).

Álgebra

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