Círculo

En la geometría Euclidiana, un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio de un punto fijo del mismo plano, llamado centro.

Círculo y circunferencia

De manera más formal, en matemáticas existe una distinción entre la curva que resulta de la definición mencionada arriba y la figura como un todo, incluyendo el interior. Cuando se desea establecer esta distinción, se usa la palabra círculo para denotar la figura completa (el borde y el interior) mientras que se reserva la palabra circunferencia para designar únicamente a la curva.

Sin embargo, de forma coloquial se usa el término círculo en ambos sentidos Diccionario de la Real Academia Española: Círculo. determinando el significado según el contexto, aunque el término circunferencia se reserva siempre para referirse a la curva. Diccionario de la Real Academia Española: Círcunferencia. De esta forma, es posible hablar del "área de un círculo" pero es incorrecto hablar del "área de una circunferencia".

Elementos del círculo

Existen varias rectas y puntos especiales en el círculo. Una segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda. A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les llama diámetros. Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos.

Una línea que atraviesa el círculo, cortándolo en dos puntos, se llama secante, mientras que una línea que toca al cóculo en un sólo punto se denomina tangente. El punto de contacto de la tangente con el círculo se llama punto de tangencia. El radio que une el centro con el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

Ecuaciones de la circunferencia

Coordenadas cartesianas En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, a circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio c consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

(x-a)^2 + (y-b)^2 = c^2\,

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

x^2 + y^2 = c^2.\,

El círculo con centro en el origen y de radio igual a

1

es llamado círculo unitario.

Si en vez del centro y el radio son dados dos puntos $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ extremos de un diámetro, la circunferencia queda descrita por la ecuación

(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,

Coordenadas polares. Cuando el círculo tiene centro en el origen y el radio es c, la circunferencia se describe en coordenadas polares como $(r,\theta)$

r=c.\,

Cuando el centro no está en el origen sino en el punto

(s,\alpha)

y el radio es

c

, la ecuación se convierte en

r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2

Coordenadas paramétricas También es posible describir una circunferencia usando parametrizaciones. La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como

x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in

y con funciones racionales como

x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty

Angulos en el círculo

Existen diversos tipos de ángulos que se peuden encontrar en un círculo.

En un círculo unitario, la medida de un ángulo central (en radianes) coincide con la longitud del arco que subtiende. Con esa base, decimos que la medida de un arco, en grados o radianes, coincide con la medida del ángulo central que lo contiene.

Es importante notar que estamos definiendo la medida angular de un arco, la cual depende únicamente de la apertura del ángulo central correspondiente, la cual no se debe confundir con la medida lineal (de longitud) la cual depende tanto del ángulo como del radio. Así por ejemplo, un ángulo central recto siempre determina un arco de 90º, aunque la longitud del arco depende del radio que se use.

Con esa definición es posible relacionar las medidas de los otros ángulos con los arcos. Por ejemplo, un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice (siempre y cuando el arco sea el mismo). Del mismo modo, un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente.

Arcos de círculo

Al tomar dos puntos en la circunferencia, se determinan dos arcos, al más pequeño se le denomina arco menor y al otro arco mayor. Dado que tres puntos no colineales del plano determinan un círculo, es posible reconstruir el círculo completo dado un arco del mismo.

El procedimiento consta de señalar tres puntos en el arco, para trazar luego mediatrices de los segmentos determinados. El punto de intersección de las mediatrices es el centro del círculo.

Es posible también determinar el radio del círculo cuando se proporciona un arco, si se conoce la longitud L de una cuerda y la distancia d que hay del punto medio de la cuerda al punto medio del arco determinado por la cuerda usando la fórmula

r = \frac{ L^2 + 4d^2}{8d}

o la versión trigonométrica

r = \frac{L}{2 \sin\left(180^\circ - 2 \arctan \frac{L}{2d}\right)}

Al área comprendida entre un arco y los radios que unen al centro con sus extremos se le denomina sector circular, y a la región comprendida entre una cuerda y un arco se le conoce como segmento circular. En ambos casos, se puede hablar de área mayor o menor en caso de ambiguedad.

Si T es un sector circular cuyo ángulo central es $\alpha$ y radio r, la longitud de su arco y su área se calculan mediante las fórmulas

Arco =

\frac{2 \pi r \alpha}{360^\circ}

Area =

\frac{\pi r^2\alpha}{360^\circ}

cuando

\alpha

se expresa en grados, mientras que si

\alpha

se expresa en radianes, las fórmulas que corresponden son

Arco =

r\,\alpha

Area =

\frac{r^2\alpha}{2}

Círculos asociados a un triángulo

Todo triángulo tiene asociado varios círculos importante.

Dado que tres puntos no colineales determinan un círculo, todo triángulo tiene asociado un círculo que pasa por sus tres vértices. A tal círculo se le conoce como círculo circunscrito. El centro de tal círculo se encuentra intersecando las mediatrices de los lados y se conoce como circuncentro.

Otro círculo importante es el círculo inscrito, el cual es un círculo interior al triángulo y que es tangente a sus tres lados. El centro se localiza en la intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo y se conoce como incentro.

Las intersecciones de bisectrices externas de los ángulos del triángulo determinan tres puntos llamados excentros y que son centros de círculos tangentes a un lado y a las prolongaciones de los otros dos. Estos círculos reciben el nombre de círculos externos o círculos excritos.

Existen muchos otros círculos importantes, tales como el círculo de los nueve puntos, el cual contiene a los pies de las alturas, los puntos medios de los lados, y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices. Su centro se localiza en el punto medio del segment oque une el ortocentro con el circuncentro.

Otras propiedades

El Teorema de Tales dice que si los tres vértices de un triángulo están sobre un círculo dado con uno de sus lados siendo el diámetro del círculo, entonces el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto.

Dados tres puntos cualesquiera que no pertenezcan a una misma recta, éxiste un único círculo que contiene en perímetro a estos tres puntos (este círculo se refiere como circunscrito al triángulo definido por éstos puntos). Dados tres puntos <(x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)>, la ecuación del círculo está dada de forma simple por la determinante matricial:

$\det\begin{bmatrix}
x & y & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0.$

Un círculo es una forma de sección cónica, con excentricidad cero.

Un círculo de radio, $r$ , tendrá una superficie o área de:

S = \pi \cdot r^2

Y un perímetro de:

P = 2 \cdot \pi \cdot r

Referencias

Curvas | Símbolos

Gourt Home::Gourt :: Círculo