La topología discreta en un conjunto X es la topología dada por el conjunto potencia de X. Esto es, todo subconjunto de X es un conjunto abierto en la topología discreta. Un espacio que posee la topología discreta se conoce también como espacio discreto.

La topología discreta es la topología más fina que se le puede dar a un conjunto. Cualquier conjunto con la topología discreta es metrizable si definimos $d(x,y)=1$ para cualquiera $x\backslash neq\; y$ y $d(x,x)=0$ para todo $x\backslash in\; X.$

Las siguientes condiciones son equivalentes:

• X es un espacio topológico discteto.
• Todo conjunto de un elemento $\backslash \{x\backslash \}$ con $x\backslash in\; X$ es un conjunto abierto.
• Todo subconjunto de X que contiene a x es una vecindad de x.

Notemos que cualquier biyección entre espacios discretos es un homeomorfismo.

Subespacios discretos

Si Y es un subconjunto de X, y la topología subespacio en Y es discreta, entonces Y es un subespacio discreto de X-

Supongamos que X es un espacio topológico y Y un subconjunto de X'. Entonces Y es un subespacio discreto si y sólo si para cualquier $y\backslash in\; Y$ existe un conjunto abierto V de X tal que

$V\backslash cap\; Y=\backslash \{y\backslash \}.$

Ejemplos

• $\backslash mathbb\{Z\}$, como espacio métrico bajo la métrica euclideana $d(m,n)=|\; m-n|$, tiene la topología discreta. Esto es equivalente a considerar a $\backslash mathbb\{Z\}$ como subespacio topológico de $\backslash mathbb\{R\}$ or $\backslash mathbb\{C\}$ con sus topologías usuales.
• $\backslash mathbb\{Q\}$, como subespacio de $\backslash mathbb\{R\}$ con la topología usual no es discreto: cualquier abierto que contiene a $q\backslash in\; \backslash mathbb\{Q\}$ contiene la intersección $U=B(q,\backslash epsilon)\backslash cap\; \backslash mathbb\{Q\}$ de una bola abierta alrededor de $q$ con los números racionales. Por la densidad de los racionales, esta bola contiene una infinidad de números racionales.
• El conjunto $F=\backslash \{1/n\; \backslash mid\; n\backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\backslash \}$, como subespacio de $\backslash mathbb\{R\}$ con la topología usual es discreto. Sin embargo, $F\backslash cup\backslash \{0\backslash \}$ no lo es, pues cualquier abierto que contenga a cero, contiene alguna fracción de $F$.
• El producto de una cantidad finita de espacios discretos es discreta en la topología producto. El producto de una cantidad infinita de espacios discretos es discreto en la topología caja pero en general no lo es en la topología producto.

Topología

Diskrete Topologie | Discrete space | Przestrzeń topologiczna dyskretna