Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos . El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX.

Definición de conjunto

No existe una definición formal de lo que se entiende por conjunto. Se trata de un concepto primitivo. En teoría de conjuntos, se consideran tres conceptos primitivos: el de conjunto, el de elemento de un conjunto y el de pertenencia a un conjunto.

Intuitivamente, un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos abstractos, a cada uno de los cuáles se le denomina elemento del conjunto. Un elemento puede relacionarse con un conjunto de una forma bidireccional:

El elemento respecto del conjunto: cuando un elemento pertenece a un conjunto. Por ejemplo: el elemento gato pertenece al conjunto Animales
El conjunto respecto del elemento: cuando un conjunto alberga a un elemento. Por ejemplo: el conjunto Animales contiene al elemento gato, utilizándose la notación gato ∈ Animales.

El trasfondo subyacente de esto reside en la aplicación inherente a hallar un elemento dentro de (perteneciente a) un conjunto o no, y en la aplicación de un conjunto sobre el cual se ve afectado (referenciado) todos y cada uno de los elementos, que lo compone. A efectos prácticos y concretos toma su importancia directamente en la relación de existencialidad por igualación condicional, lo cual puede hacerse mediante las operaciones fundamentales lógicas y/o aritméticas.

El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas pues se encuentra, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y la terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos tales como el concepto de infinito.

El concepto y los principios del conjunto se utilizan especialmente para delimitar el alcance de una proposición, lo que fuerza al objeto de la proposición a quedar en cierta medida concretizado. Esto es deseable pues permite operar con la proposición formada, al principio como mínimo a nivel de cierto o falso y en un nivel máximo, de acuerdo a como corresponda la parametrización de las proposiciones establecidas

Un conjunto S está definido si, dado un objeto cualquiera a, se sabe con seguridad si pertenece o no al conjunto.

La paradoja de Russell

Esta definición es problemática desde el punto de vista formal ya que, al definir un conjunto por una propiedad, se llega a la paradoja de Russell definiendo A:={x| x no pertenece a x} (se lee A está formado por todos los elementos x tales que x no pertenece a x).

Vemos que, si A pertenece a A, se debe cumplir que A no pertenezca a A; pero si A no pertenezca a A, se debe cumplir que A pertenece a A: una propiedad y su negación se deben cumplir al mismo tiempo. Esto llevó a considerar desarrollos axiomáticos como los de Zermelo-Fraenkel y von Neumann que evitan esta paradoja o contradicción de la teoría.

Supongamos que hay dos tipos de conjuntos: normales, los que no se contienen a sí mismo como elemento; y anormales, los que se contienen a sí mismos como elemento. Para existir, un conjunto A tendría que ser de uno solo de los dos tipos.

Pensemos ahora en el conjunto V cuyos elementos son todos los conjuntos normales: ¿el conjunto V es normal o anormal? Si V fuese normal se contendría a sí mismo como elemento, ya que V está formado por todos los conjuntos normales. Pero, al contenerse a sí mismo como elemento, sería anormal.

La contradicción es debida al hecho de suponer que la proposición "X es un conjunto y no es elemento de sí mismo" determina un conjunto. Se piensa entonces en dos tipos de colecciones:

Clases:

Aquellas colecciones de objetos especificadas por una proposición.

Conjuntos:

Aquellas clases que sean elementos de otra clase.

Hay una distinción entre conjuntos y clases, en donde las clases que no sean conjuntos no pueden ser elementos de otras clases. Aparece la teoría axiomática de conjuntos buscando dos fines: garantizar la existencia de un conjunto y asegurar las construcciones con conjuntos que den como resultado otros conjuntos.

A continuación se expone el desarrollo intuitivo, por ser el más natural para la mayoría de las personas. ok ...

Notación

Por lo regular se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto dado. Si $~A$ es un conjunto, y $~a, b, c, d, e$ todos sus elementos, es común escribir

$~A= \{a, b, c, d, e\}$ (1)

para definir a tal conjunto $~A$ . La notación empleada en (1) para definir al conjunto $~A$ se llama notación por extensión.

Para representar que un elemento $~x$ pertenece a un conjunto $~A$ , escribimos $x\in A$ (leáse $~x$ en $~A$ ). La negación de $x\in A$ se escribe $x\notin A$ .

Si todos los elementos $~x$ de un conjunto $~A$ satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición $p\left( x\right)$ , con la indeterminada $~x$ , usamos la notación por comprensión, y se puede definir

$~A= \{x:p\left(x\right)\}$ ,

donde el símbolo $~:$ se lee "tal que", y puede ser remplazado por una barra $\mid$ . Por ejemplo, el conjunto $~A= \{1, 2, 3, 4\}$ puede definirse por

$~A= \{n: 1\leq n\leq 4, n\in\mathbb{N}\}$ .

El símbolo $\mathbb{N}$ representa al conjunto de los números naturales.

Complemento de un conjunto:

Dado un conjunto

~A

, se representa por

~A'

al complemento de

~A

, el cual es un conjunto que verifica la proposición

$x\in A'\qquad\Leftrightarrow\qquad x\notin A$

para cualquiera que sea el elemento $~x$ . Así pues, $~A'$ está formado por todos los elementos que no son del conjunto $~A$ .

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos:

Dos conjuntos $~A$ y $~B$ se dicen iguales, lo que se escribe $~A = B$ si constan de los mismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento $~x$ , se verifique

$x\in A\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in B$

Subconjuntos y Superconjuntos:

Un conjunto $~A$ se dice subconjunto de otro $~B$ , si todo elemento de $~A$ es también elemento de $~B$ , es decir, cuando se verifique

$x\in A\qquad\Rightarrow\qquad x\in B$ ,

sea cual sea el elemento $~x$ . En tal caso, se escribe $A\subseteq B$ .

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si $A\subseteq B$ , se cumpla $A = B$ . Si $~B$ tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto $~A$ , pero si todo elemento de $~A$ es elemento de $~B$ , entonces decimos que $~A$ es un subconjunto propio de $~B$ , lo que se representa por $A\subset B$ .

Si $~A$ es un subconjunto de $~B$ , decimos también que $~B$ es un superconjunto de $~A$ , lo que se escribe $B\supseteq A$ . Así pues

$B\supseteq A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subseteq B$ ,

y también

$B\supset A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subset B$ ,

significando $B\supset A$ que $~B$ es superconjunto propio de $~A$ .

Por el principio de identidad, es siempre cierto $x\in A\quad\Rightarrow\quad x\in A$ , para todo elemento $~x$ , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.

Vemos que $\subseteq$ es una relación de orden sobre un conjunto $~S$ de conjuntos, pues

A\subseteq A

para todo

A\in S

, y

\subseteq

es reflexiva.

A\subseteq B\wedge B\subseteq A\qquad\Rightarrow\qquad A=B

, y

\subseteq

es antisimétrica

A\subseteq B\wedge B\subseteq C\qquad\Rightarrow\qquad A\subseteq C

, y

\subseteq

es transitiva

Operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica.

Sean

~A

~B

dos conjuntos.

Unión:

Los elementos que pertenecen a $~A$ o a $~B$ o a ambos $~A$ y $~B$ , forman otro conjunto, llamado unión de $~A$ y $~B$ , escrito $A\cup B$ . Así pues, se tiene

A\cup B= \{x:x\in A\quad\vee\quad x\in B\}

Intersección:

Los elementos comunes entre $~A$ y $~B$ forman un conjunto denominado intersección de $~A$ y $~B$ , representado por $A\cap B$ :

A\cap B= \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\in B\}

Si dos conjuntos $~A$ y $~B$ son tales que $A\cap B =\emptyset$ , entonces $~A$ y $~B$ se dicen conjuntos disjuntos.

Ejemplos: si tenemos los conjuntos $~A= \{2, 4, 6\}$ $~B= \{4, 6, 8, 10\}$ $~C= \{10, 14, 16, 26\}$

Entonces:

$A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ $A\cup C = \{2, 4, 6, 10, 14, 16, 26\}$ $A\cap B = \{4, 6\}$ $A\cap C = \emptyset$

Diferencia:

Los elementos de un conjunto $~A$ que no se encuentran en otro conjunto $~B$ , forman otro conjunto llamado diferencia de $~A$ y $~B$ , representado por, $~A-B$ :

A-B= \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\notin B\}

Vemos que

x\in \left (A-B\right)\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in A\quad\wedge\quad x\notin B\qquad\Leftrightarrow\qquad\ x\in A\quad\wedge\quad x\in B'

\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in \left (A\cap B'\right )

de manera que

A-B = A\cap B'

. Pero también

x\in \left (A\cap B'\right )\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in A\quad\wedge\quad x\in B'\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in B'\quad\wedge\quad\ x\in A

\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in B'\quad\wedge\quad x\notin A'\qquad\Leftrightarrow\qquad x \in\left (B'-A'\right )

de modo que

$~A-B = B'-A'$

Diferencia simétrica:

Se define la diferencia simétrica de dos conjuntos por

$A\Delta B = \left (A-B\right )\cup\left (B-A\right )$

Álgebra de conjuntos

Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera, entonces:

A ∩ A = A
A ∪ A = A
A - A = Ø
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
(B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
(B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
A ⊆ B ↔ A - B = Ø
A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
A ∩ Ø = Ø
A ∪ Ø = A
Ø - A = Ø
A - Ø = A

Sea U un conjunto tal que A, B, y C son subconjuntos de U (se utiliza la notación A' := U - A). Entonces:

A'' = A
B - A = A' ∩ B
(B - A)' = A ∪ B'
A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
A ∩ U = A
A ∪ U = U
U - A = A'
A - U = Ø

Distributividad entre unión e intersección

Sean tres conjuntos A, B y C. Se cumple que:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, la cual es un caso particular del sistema algebraico conocido como Álgebra de Boole. ...

Producto cartesiano de conjuntos

Un par de números

\left (x, y\right )

se dice ordenado si los pares

\left (x, y\right )

\left (y, x\right )

son uno mismo si y solo si

~x = y

Dados dos conjuntos $~A$ y $~B$ , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de $~A$ y $~B$ (en ese orden), representado por $~A\times B$ , como el conjunto

~A\times B = \{(x,y)\mid\quad x\in A\quad\wedge\quad y\in B\}

Ejemplo: Sean $~S = \{1, 2, 3\}$ y $~R = \{a, b, c\}$ . Así,

~S\times R = \{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)\}

Ya que el producto cartesiano esta formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta

~A\times B = B\times A\qquad\Leftrightarrow\qquad A = B

Cuantificadores

Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son

El cuantificador universal, representado por

\forall

. Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe

\mathop{\forall}_{x\in A}\quad p(x)

. (1)

La proposición (1) suele usarse como la equivalente de

$\{x\in A\mid\quad p(x)\}\ = A$

El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto

~A

cumple con una propiedad. Se escribe

\exist_{x\in A}\quad p(x)

. (2)

La proposición (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposición

\{x\in A\mid\quad p(x)\}\neq\emptyset

Se definen

\neg(\forall_{x\in A}\quad p(x))\qquad\Leftrightarrow\qquad\exist_{x\in A}\quad\neg p(x)

\neg(\exist_{x\in A}\quad p(x))\qquad\Leftrightarrow\qquad\forall_{x\in A}\quad\neg p(x)

Aplicaciones

Sean

~A

~B

dos conjuntos. Un subconjunto

f\subset A\times B

, se dice aplicación de

~A

~B

, lo que se representa por

f:\quad A\rightarrow B

siempre que se verifiquen

\forall_{x\in A},\quad\exist_{y\in B},\quad (x,y)\in f

(x,y)\in f\quad\wedge\quad (x,y')\in f\qquad\Rightarrow\qquad y=y'

Si $(x,y)\in f$ , el elemento $~y$ se dice imagen de $~x$ por $~f$ , y el elemento $~x$ se llama antecedente de $~y$ por $~f$ .

Sea una aplicación $f:\quad A\rightarrow B$ . Se emplea la notación $~f(x)$ para representar a la imagen de $x\in A$ por $~f$ , y por tanto $f(x)\in B$ .

Sean las aplicaciones $f:\, x\rightarrow\ f(x)$ y $g: y\rightarrow g(x)$ . Se define

f\circ g:\quad x\rightarrow g(f(x))

y se dice que $f\circ g$ es el producto de composición de las aplicaciones $~f$ y $~g$ .

Vemos que $f\circ (g\circ h)(x)=(g\circ h)(f(x))=h\left,$

$\left g)\circ h\right (x)=h\left (f\circ g)(x)\right =h\left,$

por lo que

$f(g\circ h)=(f\circ g)\circ h$