Teoría general de la relatividad

La Teoría General de la Relatividad o Relatividad General es la teoría de la gravedad publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916. El principio fundamental de esta teoría es el Principio de equivalencia fuerte, que, informalmente, afirma que lo más parecido a un sistema inercial que existe es un sistema en caída libre. Esto permite describir la aceleración y la sensación de gravedad como aspectos distintos de la misma realidad. Einstein postuló que no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió fundar también el campo de la cosmología. En esta teoría, el espacio-tiempo es tratado como una banda Lorentziana de 4 dimensiones la cual se curva por la presencia de masa, energía, y momento lineal . La relación entre el momento y la curvatura del espacio-tiempo es gobernada por las ecuaciones del campo de Einstein. En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza de gravedad, (tales como una caída libre la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial) son representados como movimientos inerciales en un espacio-tiempo curvado. El movimiento de objetos influídos por la geometría del espacio-tiempo (movimiento inercial) ocurre en el espacio-tiempo que los físicos denominan espacio de Minkowski

Principios fundamentales

La relatividad general está basada en un conjunto de principios fundamentales que guiaron su desarrollo. Estos son:

El principio general de la relatividad: Las leyes de la física deben ser las mismas para todos los observadores (inerciales o no).
El principio general de covariancia: Las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas.
El movimiento inercial se realiza a través de trayectorias geodésicas.
El principio de invariancia local de Lorentz: Las leyes de la relatividad especial se aplican localmente para todos los observadores inerciales.
Curvatura del espacio-tiempo. Esto permite explicar los efectos gravitacionales como movimientos inerciales en un espacio-tiempo curvado.
La curvatura del espacio-tiempo está creada por el estrés de la masa y la energía en el espacio tiempo. La curvatura del espacio-tiempo puede calcularse a partir de la densidad de la materia y energía al igual que de las ecuaciones de campo de Einstein.

El principio de equivalencia que había guiado el desarrollo inicial de la teoría es una consecuencia del principio general de la relatividad y del principio del movimiento inercial sobre trayectorias geodésicas.

Una de las principales consecuencias de la gravedad es una manifestación de la geometría local del espacio-tiempo. Las bases matemáticas de la teoría se remontan a los axiomas de la geometría euclídeana y los muchos intentos de probar, a lo largo de los siglos, el quinto postulado de Euclides, que dice que las líneas paralelas permanecen siempre equidistantes, y que culminaron con la constatación por Bolyai y Gauss de que este axioma puede obviarse dando lugar a las geometría no euclideanas. En este caso, el espacio en lugar de ser plano, puede ser abierto o hiperbólico (existe no una, sino infinitas rectas paralelas) o cerrado o parabólico (no existe ninguna recta paralela). Las matemáticas generales de la estas geometrías fueron desarrolladas por el discípulo de Gauss, Riemann, pero no fue hasta después de que Einstein desarrolló la teoría de la Relatividad especial que la geometría no euclidiana del espacio y el tiempo fue conocida.

Gauss demostró que no hay razón para que la geometría del espacio deba ser euclidiana, lo que significa que si un físico pone una marca, y un cartógrafo permanece a una cierta distancia y se mide su longitud por triangulación basada en la geometría euclidiana, entonces no está garantizado que sea dada la misma respuesta si el físico porta la marca consigo y mide su longitud directamente. Por supuesto, para una marca no podría medirse en la práctica la diferencia entre las dos medidas, pero existen medidas equivalentes que deben detectar la geometría no euclidiana del espacio-tiempo directamente, por ejemplo el experimento de Pound-Rebka (1959) detectó el cambio en la longitud de onda de la luz de una fuente de cobalto surgiendo por 22.5 metros contra la gravedad en un local del Laboratorio de Física Jefferson en la Universidad de Harvard, y la cadencia de un reloj atómico en un satélite GPS alrededor de la tierra tiene que ser corregida por efecto de la gravedad.

Desarrollo de la teoría

La idea fundamental en la relatividad es que no podemos hablar de las cantidades físicas de velocidad o aceleración sin definir antes el sistema de referencia de las mismas. Y dicho sistema de referencia es definido por elección particular. En tal caso, todo movimiento es definido y cuantificado relativamente a otra materia. En la teoría especial de la relatividad se asume que los sistemas de referencia pueden ser extendidos indefinidamente en todas las direcciones en el espacio-tiempo. Pero en la teoría general se reconoce que sólo es posible la definición de sistemas aproximados de forma local y durante un tiempo finito para regiones finitas del espacio (de forma similar a como podemos dibujar mapas planos de regiones de la superficie terrestre pero no podemos extenderlos para cubrir la superficie de toda la tierra sin sufrir distorsión). En relatividad general, las leyes de Newton son asumidas sólo en relación a sistemas de referencia locales. En particular, las partículas libres viajan trazando líneas rectas en sistemas inerciales locales (Lorentz). Cuando esas líneas se extienden, no aparecen como rectas, siendo llamadas geodésicas. Entonces, la primera ley de Newton se ve reemplazada por la ley del movimiento geodésico.

Distinguimos sistemas inerciales de referencia, en los que los cuerpos mantienen un movimiento uniforme sin la actuación de o sobre otros cuerpos, de los sistemas de referencia no inerciales en los que los cuerpos que se mueven libremente sufriendo una aceleración derivada del propio sistema de referencia. En sistemas de referencia no inerciales se percibe fuerza derivada del sistema de referencia, no por la influencia directa de otra materia. Nosotros sentimos fuerzas "gravitatorias" cuando vamos en un coche y giramos en una curva como la base física de nuestro sistema de referencia. De forma similar actúan el efecto Coriolis y la fuerza centrífuga cuando definimos sistemas de referencia basados en materia rotando (tal cual la Tierra o un niño dando vueltas). El principio de equivalencia en relatividad general establece que no hay experimentos locales que sean capaces de distinguir una caída no-rotacional en un campo gravitacional a partir del movimiento uniforme en ausencia de un campo gravitatorio. Es decir, no hay gravedad en un sistema de referencia en caída libre. Desde esta perspectiva la gravedad observada en la superficie de la Tierra es la fuerza observada en un sistema de referencia definido por la materia en la superficie que es no libre (es ligada) pero es atraída hacia abajo por la materia terrestre, y es análoga a la fuerza "gravitatoria" sentida en un coche dando una curva.

Matemáticamente, Einstein modeló el espacio-tiempo por una variedad pseudo-Riemaniana, y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura de la variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor de energía en dicho punto; dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura le dice a la materia como moverse, y de forma recíproca la materia le dice al espacio como curvarse. La ecuación de campo posible no es única, habiendo posibilidad de otros modelos sin contradecir la observación. La relatividad general se distingue de otras teorías de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura, aunque todavía no se ha resuelto su unificación con la Mecánica cuántica y el reemplazo de la ecuación de campo con una ley adecuada a la cuántica. Pocos físicos dudan que una teoría así, una teoría del todo pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.

La ecuación de campo de Einstein contiene un parámetro llamado "constante cosmológica" Λ que fue originalmente introducida por este autor para permitir un universo estático. Este esfuerzo no tuvo éxito por dos razones: la inestabilidad del universo resultante de tales esfuerzos teóricos, y las observaciones realizadas por Hubble una década después confirman que nuestro universo es de hecho no estático sino en expansión. Así Λ fue abandonada, pero de forma bastante reciente, técnicas astronómicas encontraron que un valor diferente de cero para Λ es necesario para poder explicar algunas observaciones. Las ecuaciones de campo se leen como sigue:

$R_{ik} - \left(\frac{g_{ik} R}{2}\right) + \Lambda g_{ik} = \frac{8\pi G}
{c^4}T_{ik}$

donde R_{ik} es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de curvatura de Ricci, g_{ik} es el tensor métrico, Λ es la constante cosmológica, T_{ik} es el tensor de energía, c es la velocidad de la luz y G es la constante gravitatoria universal, de forma similar a lo que ocurre en la gravedad newtoniana. g_{ik} describe la métrica de la variedad y es un tensor simétrico 4 x 4, por lo que tiene 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de las cuatro coordenadas espaciotemporales, las ecuaciones independientes se reducen a seis.

Predicciones de la Relatividad General

Se considera que la teoría de la relatividad general fue comprobada por primera vez en la observación de un eclipse total de Sol en 1919 realizada por Sir Arthur Eddington en la que se ponía de manifiesto que la luz proveniente de estrellas lejanas se curvaba al pasar cerca del campo gravitatorio solar alterando la posición aparente de las estrellas cercanas al disco del Sol. Desde entonces muchos otros experimentos y aplicaciones han demostrado las predicciones de la relatividad general. Entre algunas de las predicciones se encuentran:

Efectos gravitacionales

Efectos de aceleración

Desviación gravitacional de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad: La frecuencia de la luz decrece al pasar por una región de elevada gravedad. Confirmado por el experimento de Pound-Rebka (1959).
Dilatación gravitacional del tiempo: Los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo más lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad. Demostrado experimentalmente con relojes atómicos situados sobre la superficie terrestre y los relojes en órbita del Sistema de Posicionamiento Global (GPS por sus siglas en inglés).
Efecto Shapiro (dilatación gravitacional de desfases temporales): Diferentes señales atravesando un campo gravitacional intenso necesitan mayor tiempo para atravesar dicho campo.

Efectos orbitales

Decaimiento orbital debido a la emisión de radiación gravitacional. Observado en púlsares binarios.
Precesión geodésica: Debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientación de un giroscopio en rotación cambiará con el tiempo. Esto está siendo puesto a prueba por el satélite Gravity Probe B.

Efectos rotatorios

Esto implica el comportamiento del espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo rotante.

Fricción de marco. Un objeto en rotación va a arrastrar consigo al espacio-tiempo, causando que la orientación de un giroscopio cambie con el tiempo. Para una nave espacial en órbita polar, la dirección de este efecto es perpendicular a la precesión geodésica.

Efectos de curvatura de la luz

De acuerdo con la teoría de la relatividad general, la luz se curva al pasar cerca de objetos de elevada masa, originando una serie de fenómenos:

La magnitud de este efecto es el doble de lo predicho por Newton. Confirmado por observaciones astronómicas durante un eclipse solar y de púlsares pasando detrás del sol.
Fenómenos de lentes gravitacionales y de microlentes gravitacionales. Confirmada en una multitud de observaciones astrofísicas de campo profundo de galaxias lejanas.
Anillos de Einstein: Un objeto directamente detrás de otro puede hacer que la luz del más distante parezca un anillo. Si el objeto está casi detrás, el resultado puede ser un arco. Fenómeno observado en galaxias lejanas.

Efectos de ondas gravitacionales

Existencia de ondas gravitacionales. Confirmada indirectamente por el decrecimiento del período de rotación en los sistemas binarios de púlsares.

Efectos cosmológicos

Ley de Hubble. Predicha por las soluciones cosmológicas de las ecuaciones de campo de Einstein. Su existencia fue confirmada por Edwin Hubble en 1929.
- Corrimiento hacia el rojo: La luz de las galaxias distantes se correrá hacia el rojo debido a que van alejando del observador.
Gran Explosión: La evolución del Universo de la singularidad.
- Radiación del fondo cósmico: Los remanentes de una bola de fuego primordial. Descubierto por Arno Penzias y Robert Woodrow Wilson en 1965.
Energía oscura: Energía invisible esparcida por el universo. Observaciones recientes de supernovas indican que se está acelerando la expansión del Universo. Las ecuaciones de campo de Einstein pueden soportar este tipo de Universo sólo si el 70% del estrés creado por la energía se haya en forma de materia oscura.

Otras predicciones

- El principio de equivalencia fuerte: Incluso objetos que gravitan entorno a sí mismo van a responder a un campo gravitatorio externo en la misma manera que una partícula de prueba lo haría.
- Gravitones: De acuerdo con la mecánica cuántica, la radiación gravitacional debe ser compuesta por cuantos llamados gravitones. La relatividad general predice que estos serán partículas de espín-2. Todavía no han sido observados.

Relación con otras teorías físicas

En esta parte, la mecánica clásica y la relatividad especial están entrelazadas debido a que la relatividad general en muchos modos es intermediaria entre la relatividad general y la mecánica cuántica.

Sujeto al principio de acoplamiento mínimo, las ecuaciones físicas de la relatividad especial pueden ser convertidas a su equivalente de la relatividad general al reemplazar la métrica de Minkowski (η_ab) con la relevante métrica del espacio-tiempo (g_ab) y reemplazando cualquier derivada normal con derivadas covariantes.

Inercia

Tanto en mecánica cuántica como en relatividad se asumía que el espacio, y más tarde el espacio-tiempo, eran planos. En el leguaje de cálculo tensorial, esto significaba que R^a_bcd = 0, donde R^a_bcd es el tensor de curvatura de Riemann. Adicionalmente, se asumía que el sistema de coordenadas era un sistema de coordenadas cartesianas. Estas restricciones le permitían al movimiento inercial ser descrito matemáticamente como:

$\ddot{x}^a = 0,$ donde

x^a es un vector de posición,
$\dot{} = \partial / \partial\tau$ , y
τ es tiempo propio.

Hay que notar que en la mecánica clásica, x^a es tridimensional y τ ≡ t, donde t es una coordenada de tiempo.

En la relatividad general, si estas restricciones son usadas en la forma de espacio-tiempo y en el sistema de coordenadas, éstas se perderán. Ésta fue la principal razón por la cual se necesitó una definición diferente de movimiento inercial. En relatividad especial, el movimiento inercial ocurre en el espacio de Minkowski como parametrizada por el tiempo propio. Esto se generaliza a espacios curvos matemáticamente mediante la ecuación geodésica:

$\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \,\dot{x}^c = 0,$ donde

${\Gamma^a}_{bc}$ es un símbolo de Christoffel (de otro modo conocido como conexión de Levi-Civita).

Como x es un tensor de rango uno, estas ecuaciones son cuatro y cada una está describiendo la segunda derivada de una coordenada con respecto al tiempo propio. (En la métrica de Minkowski de la relatividad especial, los valores de conexión son todos ceros. Esto es lo que convierte a las ecuaciones geodésicas de la relatividad general en $\ddot{x}^a = 0$ para el espacio plano ,relatividad especial.)

Gravitación

En gravitación, la relación entre la teoría de la gravedad de Newton y la relatividad general son gobernadas por el principio de correspondencia: La relatividad general tiene que producir los mismos resultados, así como la gravedad lo hace en los casos donde la física newtoniana ha demostrado ser certera.

Alrededor de objetos simétricamente esféricos, la teoría de la gravedad predice que los otros objetos serán acelerados hacia el centro por la regla $\mathbf{F} = M \mathbf{\hat{r}}/r^2$ donde

M es la masa del objeto atraído,
r es la distancia al objeto atraído, y
$\mathbf{\hat{r}}$ es un vector de unidad identificando la dirección al objeto masivo.

En la aproximación de campo débil de la relatividad general tiene que existir una aceleración en coordenadas idénticas. En la solución de Schwarzschild, la misma aceleración de la fuerza de gravedad es obtenida cuando la constante de integración es puesta igual a 2m (donde m=MG/c^2)

Electromagnetismo

El electromagnetismo sonaba el tañido fúnebre para la mecánica clásica, debido a que las ecuaciones de Maxwell no son invariancia galileana. Esto creaba un dilema que fue resuelto por el advenimiento de la relatividad especial.

En forma de tensor, las ecuaciones de Maxwell son

$\partial_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b}$ and
$\partial^{a}\,F^{\,bc} + \partial^{b} \, F^{\,ca} + \partial^{c} \, F^{\,ab} = 0$ , donde

F^ab es el tensor de campo electromagnético, y
J^a es un corriente-cuatro.

El efecto de un campo electromagnético en un objeto cargado de masa m es entonces

$dP^a/d\tau = (q/m)\,P_b\,F^{\,ab}$ , donde

P^a es el cuadrimomento del objeto cargado.

En la relatividad general, las ecuaciones de Maxwell se convierten en

$\nabla_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b}$ and
$\nabla^a\,F^{\,bc} + \nabla^b \, F^{\,ca} + \nabla^c \, F^{\,ab} = 0$ .

La ecuación para el efecto del campo electromagnético sigue siendo la misma, aunque el cambio de métrica modificará sus resultados.

Conservación de energía-momentum

En la mécanica clásica, la conservación de la energía y el momentum son manejados separadamente.

En la relatividad especial, la energía y el momentum están unidos en el cuadrimomento y los tensores de energía. Para cualquier interacción física, energía-momentum es conservado de la manera en que:

$\partial_b \, {T_a}^b = 0$ , donde

$\partial$ es una derivada parcial.
${T_a}^b$ es el tensor de tensión-energía.

En la relatividad general, esta relación es modificada para justificar la curvatura, convirtiéndose en:

$\nabla_b \, {T_a}^b = \partial_b \, {T_a}^b + {\Gamma^b}_{cb} \, {T_a}^c + {\Gamma^c}_{ab} \, {T_c}^b = 0$ , donde

∇ es la derivada covariante.

A diferencia de la mecánica clásica y la relatividad especial, en la relatividad general no es siempre posible definir claramente la energía total y el momentum. Esto a menudo causa confusión en espacio-tiempos dependientes del tiempo, los cuales no parecen conservar energía, aunque la ley local siempre se satisfaga. (Ver energía de Arnowitt, Deser y Misner)

Transición de la relatividad especial a la relatividad general

La estructura básica de la relatividad general, incluyendo a las ecuaciones geodésicas y las ecuaciones del campo de Einstein, pueden ser obtenidas desde la relatividad especial al examinar la dinámica y cinética de una partícula en una óbita circular alrededor de la tierra.

Enlaces externos

Página introductoria a la Relatividad General de la Universidad de Illinois (inglés)

Tesis de Juan Antonio Navarro González de la Universidad de Extremadura (español)

Otero Carvajal, Luis Enrique: "Einstein y la revolución científica del siglo XX, Cuadernos de Historia Contemporánea,nº 27, 2005, INSS 0214-400-X

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