Antes de definir el límite de un funtor covariante debemos definir el cono de un Funtor (covariante) F : J $\backslash rightarrow$ C , ayudándonos del diagrama de abajo, que consta de:

• Dos objetos de la categoría J: X e Y.
• Un morfismo f, de dicha categoría,

f : X $\backslash rightarrow$ Y

• Las imágenes por F de los dos objetos X e Y.
• La "F-imagen" del morfismo f (imagen de f por F: F(f)).
• Un objeto L de la categoría C, "vértice" del "cono".
• Los conjuntos de morfismos X e Y (los llamamos igual que los objetos X e Y), que constan de todos los morfismos desde L a F(X) , y desde L hacia F(Y).

Limitefuntor.png

Si el objeto en J es X, en la definición de cono que damos decimos "X" también al conjunto de flechas que van del objeto L sobre el que hacemos el cono hacia dicho X. Además, el cono sobre L lo denotaremos así: (L, X), queriendo decir que hacemos la colección de todas las familias de flechas que apuntan desde L, esto es, esos conjuntos de flechas "X" en la categoría codominio del funtor F y que hemos denominado "varias" para sugerir que pueden ser varias.

Un límite del funtor F es entonces un "cono universal". Esto es, un cono (L, X) de F decimos que es un límite para el funtor F sii para todo otro cono (N, X) de F, existe sólo un morfismo u: N $\backslash rightarrow$ L tal que X · u = X.

Esto es, podemos decir que los morfismos X factorizan a través de L con la factorización única u.

La definición de colímite y de co-cono es la de arriba pero con todas las flechas "al revés". Debiera explicitarse.

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Traducción parcial del artículo de la Wikipedia inglesa. Es algo lioso y requiere de familiarizarse con el concepto de "universal", sencillo pero que requiere de argumentos como "para todo otro objeto de la categoría -en este caso además suplementado con un cono- existe una sola flecha/morfismo...".

Teoría de categorías

Limit (category theory)