Un homomorfismo de grupos es una aplicación entre grupos que conserva las estructuras de ambos como grupos.

En este atrículo, $(G,\backslash cdot)$ y $(H,\backslash cdot)$ son grupos.

Definiciones

Este artículo empieza con la definición general.

Definición general

Se dirá que la aplicación $\backslash varphi\; :\; G\; \backslash rightarrow\; H$ es un homomorfismo de grupos si por todos $a$ y $b$ en $G$, $\backslash varphi(ab)\; =\; \backslash varphi(a)\backslash varphi(b)$.

Con esta definición se ve que la imagen de $\backslash varphi$, $Img(\backslash varphi)\; =\; \backslash varphi(G)\; =\; \backslash \{h\; \backslash in\; H\; :\; \backslash exists\; g\; \backslash in\; G,\; \backslash varphi(g)\; =\; h\backslash \}$, es un subgrupo de $(H,\; \backslash cdot)$.

Se define el nucleo de $\backslash varphi$ como el conjunto $Ker(\backslash varphi):=\backslash \{g\; \backslash in\; G\; :\; \backslash varphi(g)\; =\; 1\_H\backslash \}$, donde $1\_H$ es el Elemento Neutro de $H$. El nucleo de cualquier homomorfismo es un subgrupo normal de $G$.

Se dice que $\backslash varphi$ es un monomorfismo si es inyectivo, un epimorfismo si es subreyectivo, y un isomorfismo si es y monomorfismo y epimorfismo (i.e., es biyectivo).

Propiedades

• $\backslash varphi(1\_G)\; =\; 1\_H$. En efecto, $\backslash varphi(1\_G)\; =\; \backslash varphi(1\_G1\_G)\; =\; \backslash varphi(1\_G)\backslash varphi(1\_G)$. Por que el elemento neutro es único, $\backslash varphi(1\_G)\; =\; 1\_H$.

• $\backslash ker(\backslash varphi)\; \backslash ne\; \backslash varnothing$ porque $1\_G\; \backslash in\; \backslash ker(\backslash varphi)$.

• $\backslash varphi(a^\{-1\})\; =\; \backslash varphi(a)^\{-1\}$. En efecto, $1\_H\; =\; \backslash varphi(1\_G)\; =\; \backslash varphi(aa^\{-1\})\; =\; \backslash varphi(a)\backslash varphi(a^\{-1\})$. Por que los inversos so únicos, $\backslash varphi(a^\{-1\})\; =\; \backslash varphi(a)^\{-1\}$.

• $\backslash ker(\backslash varphi)$ es un subgrupo normal de $G$.

• $Img(\backslash varphi)$ es un subgrupo de $H$.

Teoría de grupos

Gruppenhomomorphismus | Group homomorphism | Homomorphisme de groupe | Omomorfismo di gruppi | Homomorfizem grupe