Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones.

Según el número de derivadas, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Ejemplos:

$\,y'= 2xy + 1$ es una ecuación diferencial ordinaria, donde $\,y=f(x)$ es la variable dependiente, $\,x$ la variable independiente e $y'=\frac{dy}{dx}$ es la derivada de $\,y$ con respecto a $\,x$

La expresión $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial v}=0$ es una ecuación en derivadas parciales

La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático consistente en buscar una función de cumpla determinada ecuación diferencial.

Orden de la ecuación

Se llama orden de la ecuación al orden de derivación de la derivada más alta.

Grado de la ecuación

Se llama grado de la ecuación al grado exponencial al que esté elevada la variable de orden más alto. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma:

$\, a_n(x)y^n + a_{n-1}(x) y^{n-1} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x)$

es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno

En cada coeficiente que aparece multiplicándolas, sólo interviene la variable independiente.

Ejemplos:

$y'= y$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones $y = f(x) = k \cdot e^x$ , con k un número real cualquiera.
$y$ = y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones $y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)$ , con a y b'' reales.

Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la variable, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación.

Hay tres tipos de soluciones

Solución General: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de contantes esenciales. Una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.

->Es muy importante en la práctica conocer que la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

Solución Particular: Un caso particular de la solución general, en donde la constante recibe un valor específico.

Solución Singular: Una función que verifica la ecuación, pero que no es un caso de la solución general.

Usos

Ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los ramos de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. Por ejemplo, en dinámica, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es

$\,Mx''(t)+Cx'(t)+Kx(t)=P(t)$

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz que describe la rigidez de la estructura, x es el desplazamiento de la estructura, P es el vector de fuerzas, y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo grado debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

Resolución de algunas ecuaciones

Bibliografía

Zill, Dennis G. (1995). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamérica. México D.F., México. ISBN 968-7270-45-4.

Véase también

Función diferenciable

Ecuaciones | Ecuaciones diferenciales