La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilización en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) de lo que se apartan los datos de su media, y por tanto, se mide en las mismas unidades que la variable.

Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

Formulación

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Para abordar las cuestiones que comentábamos en el párrafo anterior, nos valemos de herramientas como la varianza y la desviación estándar. Ambas medidas están estrechamente relacionadas ya que definimos una a partir de la otra.

La varianza representa la media aritmética de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado. Si atendemos a la colección completa de datos (la población en su totalidad) obtenemos la varianza poblacional y si por el contrario prestamos atención sólo a una muestra de la población obtenemos en su lugar la varianza muestral. Las expresiones de estas medidas son las que aparecen a continuación.

Expresión de la varianza muestral:

$\{s^2\}\; =\; \backslash frac\{\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash left(\; x\_i\; -\; \backslash overline\{x\}\; \backslash right)\; ^\; 2\; \}\{n-1\}$

Expresión de la varianza poblacional:

$\{\backslash sigma^2\}\; =\; \backslash frac\{\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash left(\; X\_i\; -\; \{\backslash mu\}\; \backslash right)\; ^\; 2\; \}\{N\}$

Una vez entendida la formulación de la varianza podemos pasar a obtener la desviación estándar, tomando la raíz cuadrada positiva de la varianza. Así, si efectuamos la raíz de la varianza muestral obtenemos la desviación típica muestral y si por el contrario efectuamos la raíz sobre la varianza poblacional obtendremos la desviación típica poblacional.

Expresión de la desviación estándar muestral:

$\backslash sqrt\{s^2\}\; =\backslash sqrt\}$

Expresión de la desviación estándar poblacional:

$\backslash sqrt\; =\backslash sqrt\}$

El término desviación estándar fue introducido en estadística por Karl Pearson en 1894.

Interpretación y aplicación

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La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos del valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto de la media aritmética.

Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media.

Por ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar son 7, 5 y 1, respectivamente. La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.

La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas. Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo teórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media de las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría. Esto es de esperarse ya que las mediciones caen fuera del rango de valores de los cuales sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto.

Desglose

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La desviación estándar (DS/DE), también conocida como desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución. De hecho específicamente la desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma, $\backslash sigma^\{\}\_\{\}$.

La desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían los datos de su media. Esta medida es más estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato.

Es posible calcular la desviación estándar como la raíz cuadrada de la integral

$\{\backslash sigma\}^2\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \{(x\; -\; \backslash mu)\}^2\; f(x)\; dx$

donde

$\backslash mu\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; x\; f(x)\; dx$

• La DS es la raíz cuadrada de la varianza de la distribución

$\backslash sigma^2\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n$

\left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2

Así la varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.

Aunque esta fórmula es correcta, en la práctica interesa realizar inferencias poblacionales, por lo que en el denominador en vez de n, se usa n-1 (Corrección de Bessel)

$s^2\; =\; \backslash frac\{\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash left(\; x\_i\; -\; \backslash overline\{x\}\; \backslash right)\; ^\; 2\; \}\{n-1\}$

También hay otra función más sencilla de realizar y con menos riesgo de tener equivocaciones:

$s^2\; =\; \backslash frac\{\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i^2\; -\; n\backslash overline\{x\}^2\}\{n-1\}$

Ejemplo

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Aquí se muestra cómo calcular la desviación estándar de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños. { 5, 6, 8, 9 }

1. Calcular el promedio o media aritmética $\backslash overline\{x\}$.

$\backslash overline\{x\}=\backslash frac\{1\}\{N\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; x\_i$.

En este caso, N = 4 porque hay cuatro datos:

$x\_1\; =\; 5\backslash ,\backslash !$

$x\_2\; =\; 6\backslash ,\backslash !$

$x\_3\; =\; 8\backslash ,\backslash !$

$x\_4\; =\; 9\backslash ,\backslash !$

i=número de datos para sacar desviación estándar

$\backslash overline\{x\}=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash sum\_\{i=1\}^4\; x\_i$       Sustituyendo N por 4

$\backslash overline\{x\}=\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash left\; (\; x\_1\; +\; x\_2\; +\; x\_3\; +x\_4\; \backslash right\; )$

$\backslash overline\{x\}=\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash left\; (\; 5\; +\; 6\; +\; 8\; +\; 9\; \backslash right\; )$

$\backslash overline\{x\}=\; 7$   Este es el promedio.

2. Calcular la desviación estándar $\backslash sigma\backslash ,\backslash !$

$\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{N\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; (x\_i\; -\; \backslash overline\{x\})^2\}$

$\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^4\; (x\_i\; -\; \backslash overline\{x\})^2\}$       Sustityendo N por 4

$\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^4\; (x\_i\; -\; 7)^2\}$       Sustituyendo $\backslash overline\{x\}$ por 7

$\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash left(5\; -\; 7)^2\; +\; (6\; -\; 7)^2\; +\; (8\; -\; 7)^2\; +\; (9\; -\; 7)^2\; \backslash right\}$

$\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash left\; (\; (-2)^2\; +\; (-1)^2\; +\; 1^2\; +\; 2^2\; \backslash right\; )\; \}$

$\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash left\; (\; 4\; +\; 1\; +\; 1\; +\; 4\; \backslash right\; )\; \}$

$\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{10\}\{4\}\}$

$\backslash sigma\; =\; 1.5811\backslash ,\backslash !$   Ésta es la desviación estándar.

Estadística

Desviació típica | Směrodatná odchylka | Standardafvigelse | Standardabweichung | Standard deviation | Standardhälve | Hajontaluku | Écart type | Desviación típica | סטיית תקן | Standardna devijacija | Simpangan baku | Deviazione standard | 標準偏差 | Standartinis nuokrypis | Standaardafwijking | Standardavvik | Odchylenie standardowe | Desvio padrão | Дисперсия случайной величины | Smerodajná odchýlka | Standardni odklon | Стандардна девијација | Simpangan baku | Standardavvikelse | 標準差