Continuidad (matemática)

Definición general

Sean $(X,T_X)$ e $(Y,T_Y)$ dos espacios topológicos. Una aplicación $f:X \longrightarrow Y$ se dice que es continua si $f^{-1}(G)$ es un abierto de $X$ , cualquiera que sea el abierto $G$ de $Y$ .

Con la misma notación, si $x \in X$ , diremos que $f$ es continua en $x$ cuando se obtiene que $f^{-1}(V)$ es un entorno de $x$ , cualquiera que sea el entorno $V$ de $f(x)$ .

Es inmediato entonces comprobar que $f$ es continua cuando y sólo cuando es continua en $x \in X$ , cualquiera que sea éste, es decir, cuando y sólo cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

Funciones reales de una variable real

Introducción

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida de un solo pedazo, en el sentido de que se puede dibujarla sin levantar el lápiz, como en la figura siguiente:

función%20continua%20simple.png

(El intervalo I = 9 (cifras rojas) es el dominio de definición de f, el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) tiene sentido.
El intervalo J = 4 (cifras azules) es el codominio (también conocido como contradominio, rango o imagen) de f, el conjunto de los valores tomados por y = f(x). Se escribe f(I) = J.
El mayor elemento de J (aquí 4) se llama el máximo de f, y el menor elemento de J (aquí -5) es su mínimo)

Definiciones

Continuidad en un punto

En el caso de aplicaciones de

\mathbb{R}

\mathbb{R}

, y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto a si existe f(a) , si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia a y además coincide con f(a).

Así pues, una función f continua en el punto a implica lo siguiente:

\exists f(a)

\exists \lim_{x \to a^-} f(a) \in \mathbb{R}

\exists \lim_{x \to a^+} f(a) \in \mathbb{R}

\lim_{x \to a^-} f(a) = \lim_{x \to a^+} f(a) = f(a)

Es decir : el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente , h, tiende a cero ( $\lim_{h \to 0} - f(a) = 0$ ).

La función dibujada más abajo está definida sobre ; 6, continua sobre , 1 ^*, es decir que no es continua en x = 1, porque f(1) = 4 mientras que el límite a la izquierda de 1 es 3, o sea, al pasar de 1^- a 1, la función ejecuta un salto:

Función_discontinua_simple.png Una definición más exacta es:

Si f(a)= b, la continuidad en a se expresa así: lim_x→a f(x) = b, parafraseando, cuando x se aproxima a a, f(x) se aproxima a b. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J centrado en b (en rojo en la figura), existe un intervalo abierto I centrado en a (en azul) tal que f(I) c J.

continuidad_en_R.png

Si f ejecuta un salto (en el punto (c, d) de la figura) el teorema cae en falta: En efecto si se toma un intervalo J centrado en d (en amarillo) con un radio inferior al salto de f, todo intervalo I (en verde) alrededor de c, no importa cuan pequeño es, tiene una imagen que sale de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral

Una función f es continua por la izquierda en el punto x = a si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

$\lim_{x^- \to a} f(x) = f(a)$

Una función f es continua por la derecha en el punto x = a si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir :

$\lim_{x^+ \to a} f(x) = f(a)$

Continuidad de una función

Una función, f es continua en un intervalo I, si y sólo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

f es continua en un intervalo I ⇔ $\forall a \in I, \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Dado que una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado b si y sólo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.

La función anterior es continua tanto en ; 1 ^*.

Algunas funciones continuas importantes

Las funciones polinomiales, las racionales, trigonométricas y sus recíprocas, las funciones raíces, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

A pesar de ello una buena parte de las funciones racionales, trigonométricas y de raíces se puede decir que son discontínuas en $\mathbb{R}$

Un ejmplo de esto es la función inverso de x.

f(x)=  \frac {1} {x}

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0.
Como vemos, efectivamente es continua en todo su dominio

\left(- \infty ,0 \right) \cup \left( 0 , + \infty \right)

pero no esta definida en x=0 por lo que no se la puede considerar una función contínua. Aunque se comporte como tal en los intervalos

\left(-\infty ,0 \right)

\left(0,+ \infty \right)

Lo mismo sucede con las otras funciones racionales: los puntos de aparente discontinuidad corresponden a valores de la variable que no pertenecen al dominio de definición de la función. Esto suele ser cuando el denominador se hace 0.

Las parábolas, por el contrario, son un ejemplo de funciones continuas a lo largo de todos los reales. A continuación podemos ver los dos casos citados

función%20inversa.png parabola2.png

Algunas funciones discontinuas

La función discontinua más sencilla es la parte entera, E(x), que se define de la siguiente forma:

E(x) = donde [x es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.

parte_entera.png

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas.Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n; n+1) donde es constante.

Lo son también las funciones racionales en las que se puede anular el denominador. También pueden ser discontinuas las funciones a trozos o por tramos.

Tipos de discontinuidades

Ahora vemos distintos casos de funciones que son continuas en todos los puntos de un intervalo excepto en un número finito de puntos. Con esto queremos decir que, si tomamos un punto en concreto del intervalo en el que la función no es continua, podemos encontrar otro nuevo intervalo más pequeño en el que el punto tomado sea el único punto en el que la función no es continua.

Discontinuidad evitable (o removible). Se trata de funciones que casi son continuas, solo que no están representadas en alguno de los puntos. Pueden ser transformadas en otra función continua mediante modificaciones (si modificamos una función obtenemos otra función, no la misma), por ello se dice que son evitables. Se cumple lo siguiente:

\lim_{x \to a^-} f(a) = \lim_{x \to a^+} f(a)

\not\exists f(a)

Discontinuidades de primera especie:

Discontinuidad de salto. En éstas se produce un salto los extremos del cual no coinciden. Se cumple lo siguiente:

\lim_{x \to a^-} f(a) \ne \lim_{x \to a^+} f(a)

Discontinuidad asintótica. La discontinuidad viene marcada por una asíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

\lim_{x \to a^-} f(a) = \pm \infty

\lim_{x \to a^+} f(a) = \pm \infty

Discontinuidad de segunda especie: Son las que tienen puntos para los que existe solo uno o ningún límite. Por ejemplo la función

f(x) = \sqrt{x}

. Ésta tiene una discontinuidad de segunda especie en 0 pues no existe el límite

\lim_{x \to 0^-} f(x)

\not\exists\lim_{x \to a^-}f(a)

\not\exists\lim_{x \to a^+}f(a)

Más información en: función discontinua

Funciones que no son continuas en ninguna parte

Existen funciones que no son continuas en ningún punto: La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no. Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y = 0 , y una infinidad (menor) de puntos en la recta y = 1.

Derivabilidad implica continuidad

Si una función es derivable en x=a entonces es continua en x=a

Hipótesis: Existe f '(a)

Tesis: f(x) es continua en x=a

Demostración:

f(x) - f(a) = f(x) - ^{}

f(x) - f(a) = \frac {(f(x) - f(a)) (x - a)} {(x - a)}

f(x) = \frac {(f(x) - f(a)) (x - a)} {(x - a)} + f(a)

\lim_{x \to a}f(x)= \lim_{x \to a} \frac {(f(x) -  f(a))} {(x - a)} \lim_{x \to a} (x - a) + \lim_{x \to a} f(a) = f '(a) \cdot 0 + f(a) = f(a)

Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x) = |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x = 0

Teoremas sobre funciones continuas

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

Teorema de Weierstrass: Si f es continua en ${$ ^*^{}}^{} entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
Teorema de Bolzano: Si f es continua en ^* \and f(a).f(b) < 0 \rarr \exists c \in (a;b) / f(c) = 0
Teorema del valor medio: Si f es continua en ^* \and f(a) < k < f(b) \rarr \exists c \in (a;b) / f(c) = k

Análisis matemático

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