Ganz allgemein ist eine zahlentheoretische Funktion eine Funktion die jeder natürlichen Zahl einen Funktionswert aus den komplexen Zahlen zuordnet. In der Regel interessiert man sich aber nur für solche Funktionen, die eine gewisse Bedeutung für die Zahlentheorie haben.

Die zahlentheoretischen Funktionen bilden mit der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum über C. Bezüglich der komponentenweisen Addition und der Faltung (siehe unten) bilden die zahlentheoretischen Funktionen einen Integritätsring.

Beispiele

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• Die Teileranzahlfunktion $\backslash tau(n)$ gibt an, wieviele Teiler eine Zahl besitzt.
• Die Teilersummenfunktion oder Divisorfunktion

$\backslash sigma(n):=\backslash sum\_\{d|n\}d$ bzw. allgemeiner $\backslash sigma\_k(n):=\backslash sum\_\{d|n\}d^k$ die die Summe aller Teiler bzw. der k-ten Potenzen aller Teiler einer Zahl angibt.

• Die Eulersche φ-Funktion $\backslash phi(n):=\backslash \#\backslash \{d\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}:\backslash mbox\{ggT\}(d,n)=1\backslash \}$, die die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen angibt.
• Die Primzahlfunktion $\backslash pi(n)=\backslash \#\backslash \{p\backslash leq\; n\backslash \}$, die die Anzahl der Primzahlen kleinergleich n angibt.
• Die Möbiussche μ-Funktion (siehe Abschnitt über Faltung)
• Die p-adische Exponentenbewertung $\backslash nu\_p(n)$.

Multiplikative Funktionen

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Eine Funktion heißt multiplikativ, wenn gilt: f(ab)=f(a)·f(b) für a,b teilerfremd. Sie heißt streng multiplikativ, wenn man die zusätzliche Bedingung der Teilerfremdheit weglassen kann.

Beispiele für multiplikative Funktionen sind die Teileranzahlfunktion, die Teilersummenfunktion und die Eulersche φ-Funktion. Streng multiplikativ ist beispielsweise die Identität.

Für multiplikative Funktionen hat man die folgende charakterisierende Eigenschaft:

$f$ multiplikativ $\backslash iff\; f(n)=\backslash prod\_\{p\backslash in\backslash mathbb\{P\}\}f\backslash left(p^\{\backslash nu\_p(n)\}\backslash right)$

Aus einer multiplikativen Funktion f kann man eine neue multiplikative Funktion erzeugen, wenn man über alle Teiler von n aufsummiert:

$f$ multiplikativ $\backslash Rightarrow\; f\text{'}(n)=\backslash sum\_\{d|n\}\; f(d)$ multiplikativ

Additive Funktionen

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Eine Funktion heißt additiv, wenn gilt: f(ab)=f(a)+f(b) für a,b teilerfremd. Sie heißt streng additiv, wenn man die zusätzliche Bedingung der Teilerfremdheit weglassen kann.

Ein Beispiel für eine additive Funktion ist die p-adische Exponentenbewertung. Aus jeder multiplikativen Funktion lässt sich eine additive Funktion konstruieren, indem man das Ergebnis logarithmiert. Präziser: Wenn f (streng) multiplikativ ist, so ist $\backslash log\backslash circ\; f$ eine (streng) additive Funktion.

Faltung

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Die Faltung zweier Funktionen ist definiert als

$(f*g)(n):=\backslash sum\_\{d|n\}f\backslash !\backslash left(\backslash frac\{n\}\{d\}\backslash right)g(d)$

Die Funktion F:=f*1 bezeichnet man als die summatorische Funktion von f. Dabei bezeichnet 1 die Funktion, die konstant 1 ist.

In diesem Zusammenhang ist die (multiplikative) Möbiussche μ-Funktion interessant:

$\backslash mu(n):=\backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}$

1 & \mbox{für } n=1\\ (-1)^k & \mbox{falls } n=p_1\dots p_k & \mbox{mit von einander verschiedenen Primzahlen } p_i\\ 0 & \mbox{sonst}\\ \end{matrix}\right.

Mit Hilfe der Möbiusschen μ-Funktion kann man aus der summatorischen Funktion F die ursprüngliche Funktion f zurückgewinnen, indem man F*μ berechnet.

Siehe auch den allgemeineren Artikel Faltung (Mathematik).

Zahlentheorie

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