In der Mathematik treten die Begriffe Supremum, Infimum, obere / untere Schranke, nach oben / unten beschränkt bei der Betrachtung halbgeordneter Mengen auf.

Definitionen

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Ist M eine halbgeordnete Menge und T eine Teilmenge von M so gilt:

• Ein Element b (b aus M) heißt obere Schranke von T, wenn für alle x in T gilt: $b\; \backslash geq\; x$.
• Ein Element b (b aus M) heißt untere Schranke von T, wenn für alle x in T gilt: $b\; \backslash leq\; x$.
• Existiert eine obere Schranke von T, dann heißt T nach oben beschränkt.
• Existiert eine untere Schranke von T, dann heißt T nach unten beschränkt.
• Ist T nach oben und nach unten beschränkt, dann heißt T beschränkt.

• Ein Element b heißt Supremum von T, wenn b die kleinste obere Schranke von T ist, d.h. wenn b obere Schranke ist und kleiner ist als alle anderen oberen Schranken von T.

• Ein Element b heißt Infimum von T, wenn b die größte untere Schranke von T ist, d.h. wenn b untere Schranke ist und größer ist als alle anderen unteren Schranken von T.

Ist M die Menge der reellen Zahlen so gilt:

• Ist T nach oben beschränkt, dann besitzt T eine kleinste obere Schranke (Beweisidee unten), man nennt sie obere Grenze oder Supremum von T, in Zeichen sup(T).
• Ist T nach unten beschränkt, dann besitzt T eine größte untere Schranke (Beweis analog), man nennt sie untere Grenze oder Infimum von T, in Zeichen inf(T).

• Ist T nach oben beschränkt und liegt das Supremum von T in T, dann bezeichnet man es auch als Maximum von T, in Zeichen max(T).
• Ist T nach unten beschränkt und liegt das Infimum von T in T, dann bezeichnet man es auch als Minimum von T, in Zeichen min(T).

• Ist T nach oben unbeschränkt, dann schreibt man $\backslash sup\; T\; =\; +\backslash infty$ (siehe Unendlichkeit). Das Symbol $+\backslash infty$ ist dabei aber keine reelle Zahl, und ist auch nicht das Supremum von T im hier definierten Sinne.
• Ist T nach unten unbeschränkt, dann schreibt man $\backslash inf\; T\; =\; -\backslash infty$.

Eigenschaften

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Ist b eine obere Schranke von T und c > b, dann ist auch c eine obere Schranke von T. Ist umgekehrt c keine obere Schranke von T und b < c, dann ist auch b keine obere Schranke von T. Analoges gilt für untere Schranken.

Das Supremum von T ist (im Falle seiner Existenz) eindeutig bestimmt. Dasselbe gilt für das Infimum von T.

Es ist möglich, dass eine Teilmenge T einer halbgeordneten Menge M mehrere minimale obere Schranken hat, d.h. obere Schranken, so dass jedes kleinere Element keine obere Schranke ist. Sobald T jedoch mehr als eine minimale obere Schranke hat, gibt es keine kleinste obere Schranke, d.h. kein Supremum, von T. Ein Beispiel ist die Menge $M\; =\; \backslash \{a,b,c,d\backslash \}$ mit der Halbordnung c und d.

Eine Teilmenge T der reellen Zahlen ist genau dann beschränkt, wenn es ein Element R gibt, so dass |x| < R für alle x aus T gilt. Man sagt dann, T liegt in der offenen Kugel um 0 mit Radius R. Eine ähnliche Definition der Beschränktheit einer Menge gibt es in einem metrischen Raum.

Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen

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Die Existenz des Supremums für eine beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen kann auf mehrere Arten gezeigt werden:

Zum einen kann man die Existenz von Supremum und Infimum für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen einfach als Axiom festlegen. Diese Forderung wird oft Supremumsaxiom genannt.

Geht man von dem Axiom aus, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert, dann kann man wie folgt vorgehen: Man konstruiert eine Intervallschachtelung, die das Supremum einschließt. Dazu konstruiert man zwei Folgen, von denen die erste (a_n) monoton wachsend ist und nicht aus oberen Schranken von M besteht, die zweite (b_n) monoton fallend ist und aus oberen Schranken von M besteht, so dass noch gilt, dass die Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem man jeweils die Intervallmitte betrachtet und entscheidet, ob sie eine obere Schranke ist oder nicht). Damit erhält man den gemeinsamen Grenzwert sup(M) der beiden Folgen als kleinste obere Schranke von M, denn:
Jedes Element von M ist $\backslash le$ jedem Element b_n der oberen Folge, also $\backslash le$ sup(M), deshalb ist sup(M) eine obere Schranke. Jede reelle Zahl, die kleiner ist als sup(M), ist kleiner als ein Element $a\_\{n\_0\}$ der unteren Folge, also keine obere Schranke.

Eine äquivalente Formulierung zur Existenz des Supremums ist das Schnittaxiom, dass jeder Dedekindsche Schnitt von einer reellen Zahl erzeugt wird.

Beispiele

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Folgende Beispiele beziehen sich auf Teilmengen der reellen Zahlen.

$\backslash sup\; \backslash \{1,2,3\backslash \}\; =\; 3$

$\backslash sup\; \backslash \{\; (-1)^n\; -\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; :\; n\; \backslash in\; \backslash Bbb\; N\; \backslash \}\; =\; 1$

$\backslash sup\; \backslash Bbb\; Z\; =\; +\backslash infty$

$\backslash sup\; \backslash \{\; a+b\; :\; a\backslash in\; A\; \backslash land\; b\backslash in\; B\backslash \}\; =\; \backslash sup\; A\; +\; \backslash sup\; B$

Verallgemeinerung

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Auf $\backslash mathbb\{R\}$ hat jede beschränkte Teilmenge ein Supremum bzw. Infimum. Betrachtet man andere Mengen, auf denen Ordnungsrelationen definiert sind, so ist dies nicht zwingend:

• Die Menge $\backslash mathbb\{Q\}$ der rationalen Zahlen ist bezüglich der natürlichen Ordnung total geordnet. Die Menge ist beispielsweise durch die Zahl $2\backslash in\backslash mathbb\{Q\}$ nach oben beschränkt, hat aber kein Supremum in $\backslash mathbb\{Q\}$.
• In der bezüglich Inklusion partiell geordneten Menge $\backslash mathcal\{X\}:=\backslash \{\backslash \{1\backslash \},\backslash \{2\backslash \},\backslash \{1,2,3\backslash \},\backslash \{1,2,4\backslash \}\backslash \}$ ist die Menge $M:=\backslash \{\backslash \{1\backslash \},\backslash \{2\backslash \}\backslash \}\backslash subset\backslash mathcal\{X\}$ sowohl durch das Element $\backslash \{1,2,3\backslash \}\backslash in\backslash mathcal\{X\}$ als auch durch $\backslash \{1,2,4\backslash \}\backslash in\backslash mathcal\{X\}$ nach oben beschränkt. Ein Supremum, also eine kleinste obere Schranke von $M$, existiert in $\backslash mathcal\{X\}$ jedoch nicht.

Die Untersuchung von partiell geordneten Mengen, in denen zu jeder zweielementigen Teilmenge ein Supremum und ein Infimum existiert, ist Gegenstand der Verbandstheorie.

Analysis | Ordnungstheorie

Supremum | Supremum | Supremum | Preciza supra rando | Supremo | Supremum | Borne supérieure | Estremo superiore | Bovengrens | Kres górny | Точная верхняя грань | Supremum | 最小上界