Der Begriff des stochastischen Integrals befasst sich mit Integralen und Differentialgleichungen in der Stochastik.
Er verallgemeinert die Integralbegriffe von Henri Léon Lebesgue (Lebesgueintegral) und Thomas Jean Stieltjes (Stieltjesintegral) auf eine breitere Menge von Integratoren, da er stochastische Prozesse mit unendlicher Variation, insbesondere den Wiener-Prozess, als Integratoren zulässt.

Integralbegriffe nach Itô und Stratonovich

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Seien $(X\_t),(Y\_t),t\backslash in*$ zwei (nicht notwendigerweise unabhängige) reellwertige stochastische Prozesse auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\backslash mathcal\{F\},P)$. Als Itō-Integral (nach Itō Kiyoshi) von X nach Y über dem Intervall ^* bezeichnet man die Zufallsvariable

$I:=\backslash int\_a^b\; X\_t\; dY\_t:=\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_\{(i-1)h\}\; (Y\_\{ih\}-Y\_\{(i-1)h\}),\; h=\backslash frac\{b-a\}\{n\}$.

Das zugehörige Stratonovic-Integral (nach Ruslan Leont'evich Stratonovich) berechnet sich als

$S:=\backslash int\_a^b\; X\_t\backslash circ\; dY\_t:=\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_\{(i-0.5)h\}\; (Y\_\{ih\}-Y\_\{(i-1)h\})$.

Beim Itō-Integral wird der Integrand X also stets am Anfang des h-Intervalls ausgewertet, bei Stratonovic in der Mitte. Bei gewöhnlichen (Riemann- oder Lebesgue-) Integralen von deterministischen (nicht zufälligen) und hinreichend glatten (beispielsweise stetigen) Funktionen hat dies keinen Einfluss auf das Ergebnis, doch im stochastischen Fall gilt: sind X und Y nicht unabhängig, so kann das tatsächlich zu verschiedenen Werten führen (siehe Beispiel unten)

ItoIntegral.png

Ein Beispiel

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Sei $(W\_t),\; t>0$ eine (Standard-)Brownsche Bewegung. Zu berechnen ist das Itō-Integral $\backslash int\_0^T\; W\_t\; dW\_t$. Schreibt man der Kürze halber $B\_i\; :=\; W\_\{iT/n\}\; ,\; \backslash Delta\; B\_i\; :=B\_\{i+1\}-B\_i$ und benutzt man die Identität $B\_\{i+1\}^2\; -B\_i^2=(B\_\{i+1\}-B\_i)^2\; +\; 2\; B\_i\; (B\_\{i+1\}-B\_i)$, so erhält man aus obiger Integrationsvorschrift

$I=\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\; B\_i\; (B\_\{i+1\}-B\_i)\; =\; \backslash lim\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}(B\_\{i+1\}^2-B\_i^2)\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\; (B\_\{i+1\}-B\_i)^2\; =\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash lim\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}(B\_\{i+1\}^2-B\_i^2)\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash lim\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\; (\backslash Delta\; B\_i)^2$

$=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash lim\; (B\_n^2-B\_0^2)\; -\backslash frac\{T\}\{2\}\; \backslash lim\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\; (\backslash frac\{n\}\{T\}\; \backslash Delta\; B\_i)^2$

Benutzt man nun, dass $B\_0=W\_0=0,\; B\_n=W\_T$ sowie $\backslash frac\{n\}\{T\}\; \backslash Delta\; B\_i\; \backslash sim\; \backslash Chi\_1^2\; i.i.d.$ (letzteres wegen den unabhängigen, normalverteilten Zuwächsen der Brownschen Bewegung, so folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen für den hinteren Grenzwert

$I=\backslash frac\{1\}\{2\}W\_T^2-\backslash frac\{T\}\{2\}$

Um das entsprechende Stratonovic-Integral zu berechnen, nutzt man die Stetigkeit der Brownschen Bewegung aus:

$S=\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\; B\_\{i+0.5\}(B\_\{i+1\}-B\_i)=\backslash lim(\; B\_\{n-0.5\}B\_n-B\{n-0.5\}B\{n-1\}+B\_\{n-1.5\}B\_\{n-1\}-\; \backslash ldots\; +B\_\{0.5\}\; B\_1-B\_\{0.5\}\; B\_0$

$=\backslash lim\; B\_\{n-0.5\}\; B\_n-\backslash ldots\; +\; B\_1(B\{1.5\}-B\_\{0.5\})-B\_\{0.5\}\; B\_0=W\_T^2-\backslash lim\backslash sum\_\{i=0.5\}^\{n-1.5\}B\{i+0.5\}(B\_\{i+1\}-B\_i)+0$

$=W\_t^2-S\; \backslash Rightarrow\; S=\backslash frac\{1\}\{2\}W\_T^2$

Itō- und Stratonovic-Integral über demselben Prozess führen also zu verschiedenen Ergebnissen, wobei das Stratonovic-Integral eher der intuitiven Ahnung aus der gewöhnlichen (deterministischen) Integralrechnung entspricht.

Martingaleigenschaft

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Der entscheidende Vorteil, der letztendlich dazu geführt hatte, dass sich das Itō-Integral weitgehend als Standard durchgesetzt hat, ist die folgende Eigenschaft: Ist der Integrator $Y$ eine Brownsche Bewegung (der bei weitem am häufigsten verwendete Integrator) oder allgemeiner ein Lévy-Prozess mit konstantem Erwartungswert, und ist $X$ eine nicht vorgreifende beschränkte Funktion von $Y$ und $t$ (d.h., für jedes $t>0$ ist $X\_t$ messbar bezüglich der Sigma-Algebra

Anwendung

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Ausgehend vom Itōschen Integralbegriff ist es nun möglich, eine breite Klasse von stochastischen Prozessen zu definieren: Demnach wird ein Prozess $(X\_t),\; t>0$ Itō-Prozess genannt, wenn es eine Brownsche Begegnung $(W\_t),\; t>0$ und nicht vorgreifende Funktionen $u,v:\; \backslash mathbb\{R\}\_\{+\}\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ gibt mit

$X\_t=\backslash int\_0^t\; u(s,W\_s)ds\; +\; \backslash int\_0^t\; v(s,W\_s)dW\_s$.

Das Prädikat "X ist ein Itō-Prozess" wird somit zu einem stochastischen Pendant zum Begriff der Differenzierbarkeit. Ausgehend hiervon wurden dann von Itō selbst die ersten stochastische Differentialgleichungen definiert.

Durch zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Modellierung, insbesondere in der Quantenphysik und der Finanzmathematik hat sich der Itō-Kalkül inzwischen zu einem unverzichtbaren mathematischen Werkzeug entwickelt.

Stochastische Prozesse Differentialgleichungen