Orthogonalität

Die Orthogonalität bezeichnet:

in der Mathematik das Konzept des Senkrechtstehens und des Rechten Winkels (daher die Benennung orthogonal aus dem Griechischen für rechtwinklig) sowie der linearen Unabhängigkeit
in der Informatik die freie Kombinierbarkeit unabhängiger Konzepte.

Elementargeometrie

In der Elementargeometrie heißen zwei Geraden oder Ebenen orthogonal oder senkrecht zueinander, wenn sie einen rechten Winkel, d. h. einen Winkel von 90° einschließen. Die Steigung der Normale nimmt hierbei immer der negative Kehrwert der Steigung ihrer Basis an.

Eine Gerade heißt Orthogonale auf eine Ebene, wenn ihr Richtungsvektor ein Normalenvektor der Ebene ist.

Dieses Konzept leitet sich von der Lotrichtung in der Geodäsie ab, sodass auch unspezifisch die Ausdrücke vertikal, lotrecht oder normal verwendet werden.

Orthogonale Vektoren

Allgemein gelten zwei Vektoren aus einem reellen Vektorraum, für den ein positiv definites inneres Produkt (oder Skalarprodukt) definiert ist, als orthogonal zueinander, wenn das innere Produkt der beiden Vektoren gleich 0 ist. Diese Vektorräume können zum Beispiel der

\mathbb{R}^2

und der

\mathbb{R}^3

sein, aber auch Funktionenräume.

Eine Menge von Vektoren nennt man orthogonal oder Orthogonalsystem, wenn alle darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind. Eine Menge von orthogonalen Vektoren, die alle vom Nullvektor verschieden sind, ist immer linear unabhängig und bildet deshalb eine Basis der linearen Hülle dieser Menge. Wenn zusätzlich alle darin enthaltenen Vektoren die Norm 1 besitzen, nennt man die Menge ein Orthonormalsystem. Ist der Vektorraum endlichdimensional, so besitzt er immer eine Orthonormalbasis; diese lässt sich durch das Gram-Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren bestimmen.

Orthogonale Funktionen

In Funktionenräumen mit Skalarprodukt, wie Hilberträumen, ist die Definition orthogonaler Funktionen analog, so lassen sich beispielsweise orthogonale Polynome bestimmen und auch orthogonale Basen. Allerdings sind viele interessante Räume wie die L2-Räume unendlichdimensional, siehe dazu Hilbertraumbasis. In der Quantenmechanik bilden auch die Zustände eines Systems einen Vektorraum. Entsprechend spricht man dort auch von orthogonalen Zuständen.

Orthogonale Matrizen

Eine quadratische, reelle Matrix $A \isin K^{n \times n}$ nennt man orthogonale Matrix, wenn ihre Spalten, als Vektoren aufgefasst, zueinander orthonormal sind (nicht nur orthogonal), anders gesagt, falls $A^{T} \cdot A = I_n$ oder (gleichwertig) $A^{T}=A^{-1}$ gilt.

Die Entsprechung bei den komplexen Zahlen ist die unitäre Matrix.

Orthogonale Projektion

nennt man jene Abbildungen eines Urbildes (meist der Kugel) auf eine Ebene, die parallele Strahlen senkrecht auf die Projektionsebene aufweisen. Projiziert wird also aus dem Unendlichen. Für perspektive Projektionen ist dies gleichbedeutend mit der Abbildung üblicher Mondkarten der Vorder- und Rückseite.

Siehe auch: Orthografische Azimutalprojektion, eine Kartenprojektion.