Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man $a / b$ , lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier $b$ ) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.

Definition

Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) $p/q$ zweier ganzer Zahlen mit $q\neq 0$ darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit $\Bbb Q$ bezeichnet (die Bezeichnung $\mathbf{Q}$ ist auch noch gebräuchlich).

Daneben gibt es auch eine konstruktive Definition der rationalen Zahlen unter ausschließlicher Verwendung der ganzen Zahlen (siehe weiter unten).

Erste Eigenschaften

Die rationalen Zahlen enthalten als Teilmenge die ganzen Zahlen $\Bbb Z$ (wähle zu $z\in\Z$ die Bruchdarstellung $z/1$ ).
Die rationalen Zahlen $\Bbb Q$ bilden einen Körper. $\Bbb Q$ ist der kleinste Teilkörper des Körpers $\R$ der reellen Zahlen, also sein Primkörper.
Eine Zahl ist genau dann rational, wenn sie algebraisch ersten Grades ist. Damit sind die rationalen Zahlen selbst eine Teilmenge der algebraischen Zahlen.

Darstellungsformen

Dezimalbruchentwicklung

Jeder reellen Zahl lässt sich eine Dezimalbruchentwicklung zuordnen. Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung, jede irrationale Zahl dagegen eine nichtperiodische (beachte: eine endlich abbrechende Dezimalbruchentwicklung ist ein Spezialfall der periodischen Dezimalbruchentwicklung, bei der sich nach der endlichen Ziffernfolge die Dezimalziffer 0 oder 9 periodisch wiederholt).

Beispiele sind:

1/3	= 0,333333...	= 01 01 ...₂
9/7	= 1,285714 285714...	= 010 010...₂
1/2	= 0,50000...	= ^*₂
1 = 1/1	= 1,0000... = 0,9999...	= ^*₂

In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben. Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt.

Auch die b-adischen Bruchentwicklungen zu anderen ganzzahligen Zahlenbasen $b\neq 10$ sind für alle rationalen Zahlen periodisch und für alle irrationalen Zahlen nichtperiodisch.

Weitere Darstellungsformen

Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B.

5/6 = 1/2 + 1/3

1/6 = 1/2 - 1/3

1/72 = 1/8 - 1/9

1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5

Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B.

3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231

25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116

die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet.

Das Zahlentripel $(1/5$ , $24/35$ , $5/7)$ ist ein Beispiel eines pythagoreischen Bruchs (siehe auch pythagoreisches Tripel), denn

(1/5)^2 + (24/35)^2 = (5/7)^2

Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen

Mathematisch gesehen lassen sich die rationalen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der ganzen Zahlen konstruieren, indem man Brüche als Äquivalenzklassen geordneter Paare ganzer Zahlen $(a, b)$ definiert, wobei wieder $b$ ungleich Null ist - oft wird $b$ zusätzlich auch einfach als (nichtnegative) natürliche Zahl vorausgesetzt. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln:

(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b \cdot c,\, b \cdot d)

(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c,\, b \cdot d)

Einhergehend mit unserer Erwartung, dass $2/4 = 1/2$ sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein:

(a, b) \sim (c, d)

genau dann wenn,

a \cdot d = b \cdot c

Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper $\Bbb Q$ , dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von $(a, b)$ schreibt man als $a/b$ .

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass $\mathbb{Q}$ der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ enthält. $\mathbb{Q}$ ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen $\Z$ .

Die rationalen Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl (anschaulich: jeder Punkt auf der Zahlengerade) kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden.

Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen:

c = (a + b) / 2

Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen ist. Mit anderen Worten gibt es eine bijektive Abbildung zwischen $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{N}$ , die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt (eine mögliche solche bijektive Abbildung wird bei Cantor-Diagonalisierung näher beschrieben). Die Eigenschaft, gleichmächtig zu einer Teilmenge von sich selbst sein zu können, ist charakteristisch für unendliche Mengen.

Weblinks

http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm »Bruch«, berechnet gewöhnliche, partielle, ägyptische, pythagoräische und dyadische Brüche, Dezimal- und Binärentwicklungen; löst exakt Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete rationale cauchysche Folgen (von der angegebenen Seite auch in deutscher und französischer Sprache downloadbar: Bruch.exe bzw. fraction.exe)

Zahlen

Gourt Home::Gourt :: Rationale Zahl