Die Potenzielle Energie ist eine der Formen von Energie in der Physik. In der Mechanik versteht man unter der potenziellen Energie, die Lageenergie eines Körpers, gegenüber einem Bezugsenergieniveau. In der Mechanik sind die Begriffe Potential und Potentielle Energie nahezu gleichbedeutend, lediglich in der Elektrodynamik stehen sie für verschiedene Größen.

$V(\backslash vec\; r)=-\backslash int\_0^r\; \backslash vec\; F(\backslash vec\; r\text{'})\; d\backslash vec\; r\text{'}$

In der Elektrodynamik ist das Potential des elektrischen Feldes $\backslash vec\; E$

$\backslash varphi\; (\backslash vec\; r)=-\backslash int\_\backslash infty^r\; \backslash vec\; E(\backslash vec\; r\text{'})\; d\backslash vec\; r\text{'}$

Für eine Ladung q ist dann gerade $V(\backslash vec\; r)=q\; \backslash varphi\; (\backslash vec\; r)$

Die potentielle Energie entspricht in ihrer Größe der am Körper zu verrichtenden Arbeit, um vom Bezugsniveau die neue Lage zu erreichen. Bei reversiblen Vorgängen (keine Reibung) ist die potenzielle gleich der kinetischen Energie, die der Körper gewänne, wenn er der Kraft bis auf das Bezugsniveau folgen, das heißt, sich frei bewegen könnte.

Um potentielle Energie in einem Körper anzuhäufen, muss Arbeit gegen die Kräfte eines konservativen Kraftfeldes verrichtet werden. So besitzt jeder massebehaftete Körper in einem Gravitationsfeld potenzielle Energie. Diese kann jedoch nur erhöht oder vermindert werden, wenn der Körper gegen oder in Richtung der Gravitationskraft verschoben wird.

Befindet sich der Körper auf Bezugsniveau, ist die potenzielle Energie Null.

Beispiele

Ein Springer auf einem Sprungturm besitzt vor dem Absprung eine potenzielle Energie (im Gravitationsfeld) gegenüber der Wasseroberfläche. Das Bezugsniveau kann aber auch auf den Grund des Beckens gelegt werden, dann hat der Springer entsprechend mehr potenzielle Energie. Analog muss er mehr Arbeit aufwenden, um vom Grund auf das Sprungbrett zu kommen, als wenn er lediglich die Treppe am Turm hinaufläuft. Läuft er über das Sprungbrett an, verändert sich seine potentielle Energie nicht, da er keine Arbeit gegen die senkrecht nach unten wirkende Schwerkraft verrichtet.

Auch das in einem Stausee aufgestaute Wasser, ehe es durch Fallrohre hinabstürzt, oder eine Metallkugel zwischen zwei elektrisch geladenen Kondensatorplatten verfügen über potenzielle Energie.

Potenzielle Energie und der Energieerhaltungssatz

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In einem abgeschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung und unter Vernachlässigung jedweder Reibung, gilt zu jedem Zeitpunkt der Energieerhaltungssatz der klassischen Mechanik:

$E\; =\; V\; +\; T\; =\; const.$

• V - potenzielle Energie
• T - kinetische Energie
• E - mechanische Energie

In Worten: Die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie, einschließlich der Rotationsenergie, ist konstant und entspricht der Gesamtenergie des mechanischen Systems

In einer höheren Formulierung der Mechanik, dem Hamilton-Formalismus, schreibt man auch

$H\; =\backslash sum\_k\; p\_k\; \backslash dot\; q\_k-L\; =\; T\; +\; V$

wobei H die Hamiltonfunktion und L die Lagrangefunktion sind.

Potenzielle Energie in einem Gravitationsfeld

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Für die Funktion $V(r)$ der potenziellen Energie eines Massepunktes $m$ und der Masse $M$ eines sphärischen Himmelskörpers gilt allgemein

$dV(r)\; =\; -F\; \backslash cdot\; dr\; =\; -\backslash left(-\backslash frac\{GMm\}\{r^2\}\backslash right)\backslash cdot\; dr\; =\; \backslash frac\{GMm\}\{r^2\}\backslash cdot\; dr$

Wobei $F$ die von dem Himmelskörpers auf den Massenpunkt ausgeübte Gravitationskraft und $dr$ eine infinitesimale Verschiebung der Höhe des Systems seien.

Wenn der Massenpunkt von einer Höhe $r\_1$ zu einer Höhe $r\_2$ gebracht wird, so ändert sich seine potenzielle Energie um

$V(r\_2)-V(r\_1)=\backslash int\_\{r\_1\}^\{r\_2\}\; dV=\backslash int\_\{r\_1\}^\{r\_2\}\; \backslash frac\{GMm\}\{r^2\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}r=\backslash frac\{GMm\}\{r\_1\}-\backslash frac\{GMm\}\{r\_2\}$

Die potenzielle Energie des Massenpunktes möge auf der Planetenoberfläche $R\_p$, also $r\_1=R\_p$, gleich Null sein, womit

$V(r\_2)-V(R\_p)=V(r\_2)-0=\backslash frac\{GMm\}\{R\_p\}-\backslash frac\{GMm\}\{r\_2\}$

ist.

Damit ergibt sich für eine beliebige Höhe $r$ mit $r>R\_p$

$V(r)=\backslash frac\{GMm\}\{R\_p\}-\backslash frac\{GMm\}\{r\}$

Schreiben wir die potenzielle Energie als Funktion einer Höhe $h=r-R\_p$ über der Planetenoberfläche, so ist sie vergleichbar mit $mgh$.

Dann ist

$V(r)=\backslash frac\{GMm\}\{R\_p\}-\backslash frac\{GMm\}\{r\}=\backslash frac\{GMm\}\{R\_pr\}\backslash left(r-R\_p\backslash right)=\backslash frac\{GMm\}\{R\_pr\}h$

Mit der Schwerebeschleunigung $g=GM/R\_p^2\; \backslash rightarrow\; GM=gR\_p^2$ vereinfacht sich die Formel zu

$V(r)=\backslash frac\{GMm\}\{R\_pr\}h=m\backslash left(\backslash frac\{GM\}\{R\_p^2\}\backslash right)h\backslash frac\{R\_p\}\{r\}=m\backslash left(\backslash frac\{gR\_p^2\}\{R\_p^2\}\backslash right)h\backslash frac\{R\_p\}\{r\}=mgh\backslash frac\{R\_p\}\{r\}$

Die potenzielle Energie ist also ein $mgh$-faches von $R\_p/r$. In unmittelbarer Nähe der Erdoberfläche sind $R\_p$ und $r$ näherungsweise gleich, womit die potenzielle Energie in einem solchen Fall mit $mgh$ approximiert wird. Es ist zu beachten dass die potenzielle Energie mit steigendem $r$ nicht unendlich anwächst, sondern vielmehr aus

$V(r)=\backslash frac\{GMm\}\{R\_p\}-\backslash frac\{GMm\}\{r\}$

ersichtlich ist, dass der zweite Term der nämlichen Gleichung mit steigendem $r$ gegen Null strebt, weshalb sich die potenzielle Energie einem maximalen Grenzwert der Größe

$V\_\{max\}=\backslash frac\{GMm\}\{R\_p\}=mgR\_p$, mit $GM=gR\_P^2$

annähert.

Maximale potenziellen Energie

Um einen Massenpunkt $m$ um eine Strecke $dr$ anzuheben, muss die Arbeit $dW=F\; \backslash cdot\; dr$ geleistet werden, wobei $F$ der Gravitationskraft des Planeten entspricht. Um den nämlichen Massenpunkt von einer Planetenoberfläche $R$ aus dem Gravitationsfeld heraus, also in die Unendlichkeit, zu befördern, muss die maximale potenzielle Energie des Gravitationsfeldes des Planeten gerade erreicht, oder übertroffen werden. Für diese gilt also

$W=V\_\{max\}=\backslash int\_\{R\}^\{\backslash infty\}\; dW=\backslash int\_\{R\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{GMm\}\{R^2\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}R=GMm\backslash int\_\{R\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{R^2\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}R=GMm\backslash left*^\backslash infty\_R=\backslash frac\{GMm\}\{R\}=mgR$

Potenzielle Energie einer gespannten Feder

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$V\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash cdot\; D\; \backslash cdot\; s^2$

• D = Federkonstante
• s = Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Siehe auch

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kinetische Energie, Rotationsenergie, Potential

Mechanik

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