Eine Partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDGL oder PDE für engl. partial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält. Sie dienen der mathematischen Modellierung vieler physikalischer Vorgänge. Die Lösungstheorie von partiellen Differentialgleichungen ist für lineare Gleichungen weitreichend erforscht, bei nichtlinearen Gleichungen enthält die mathematische Theorie noch viele Lücken. Zur praktischen Berechnung von Lösungen werden in der Regel numerische Verfahren herangezogen.

Definition

---

Etwas genauer gesagt ist eine PDE eine Gleichung (oder ein Gleichungssystem) für eine oder mehrere unbekannte Funktionen, die folgende Kriterien erfüllt:

• die unbekannte Funktion hängt von mindestens zwei Variablen ab (wenn sie nur von einer Variable abhängt, bezeichnet man sie als gewöhnliche Differentialgleichung, oder kurz nur Differentialgleichung)
• in der PDE kommen partielle Ableitungen nach mindestens 2 Variablen vor
• in der Gleichung kommen nur die Funktion, sowie deren partielle Ableitungen, jeweils am gleichen Punkt ausgewertet vor.

Die implizite Form einer partiellen Differentialgleichung für eine Funktion $u$, die von zwei Variablen $x$ und $y$ abhängt, lautet

$F\backslash left(x,y,u(x,y),\backslash frac\{\backslash partial\; u(x,y)\}\{\backslash partial\; x\},\backslash frac\{\backslash partial\; u(x,y)\}\{\backslash partial\; y\},$

\ldots\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x \partial y},\ldots \right) = 0,

wobei F eine beliebige Funktion ist.

Beispiel

---

Viele physikalische Prozesse hängen sowohl vom Ort als auch von der Zeit ab. Die Veränderung bezüglich beider ist nicht immer wichtig: die Bewegung eines Massenpunktes wird nur durch Ableitungen nach der Zeit (Geschwindigkeit und Beschleunigung) beschrieben. So eine Art von Gleichung nennt man gewöhnliche Differentialgleichung. Oft reicht das jedoch nicht aus: Die Wellen, die durch einen Wassertropfen, der auf eine Wasseroberfläche fällt, entstehen, hängen sowohl von der Zeitableitung (Geschwindigkeit der Welle) also auch von der Raumableitung (Profil der Welle) ab. Da Ableitungen nach mehreren Variablen auftauchen, ist also eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs notwendig.

Das einfachste mögliche Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ist folgendes: Eine Funktion $u(x,t)$ möge von 2 Variablen abhängen (z. B. von Ort $x$ und Zeit $t$). Die partielle Ableitung $\backslash frac\{\backslash partial\; u(x,t)\}\{\backslash partial\; t\}$ gibt an, wie stark sich die Funktion in der Zeit ändert, analog gibt $\backslash frac\{\backslash partial\; u(x,t)\}\{\backslash partial\; x\}$ die Änderung der Funktionswerte in der Ortsvariablen an. Falls diese beiden Änderungen gleich sind, ergibt sich folgende Differentialgleichung

$\backslash frac\{\backslash partial\; u(x,t)\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; u(x,t)\}\{\backslash partial\; t\}$

Eine Lösung dieser Gleichung wäre $u(x,t)\; =\; f(x+t)$ mit einer beliebigen Funktion $f$.

Einteilung

---

Man kann PDEs nach verschiedenen Kriterien einteilen. Den Grad der höchsten Ableitung, der in der Gleichung vorkommt, nennt man die Ordnung. Beispielsweise treten in einer Gleichung erster Ordnung nur partielle erste Ableitungen auf.

Weiter kann nach Linearität eingeteilt werden. Falls die unbekannte Funktion, sowie alle auftretenden Ableitungen linear vorkommen, spricht man von einer linearen partiellen Differentialgleichung. Treten alle Ableitungen von höchster Ordnung linear auf, aber die Funktion und Ableitungen niedriger Ordnung nicht, spricht man von einer semilinearen Gleichung. Hierbei heißt linear, dass die koeffizienten Funktionen vor der unbekannten Funktion bzw. Ihrer Ableitungen nur von den Veränderlichen abhängen. Hängen die koeffizienten Funktionen vor der höchsten Ableitung zusätzlich von niedrigeren Ableitungen und der unbekannten Funktion ab spricht man von einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung. Ansonsten spricht man von einer nichtlinearen PDEs. Eine nichtlineare partielle Differentialgleichung kann man durch ausdifferenzieren immer in eine quasilineare Form überführen, in der die höchsten Ableitungen linear auftauchen.

Der einfachste Fall ist natürlich der Fall der linearen Gleichungen. Aber im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen sind selbst hier formelmäßige Lösungen nur in Ausnahmefällen möglich.

Bei linearen PDEs unterscheidet man weiter zwischen hyperbolischen (z.B. die Wellengleichung), parabolischen (z.B. die Wärmeleitungsgleichung) und elliptischen (z.B. die Poisson-Gleichung) Differentialgleichungen. Anschaulich betrachtet unterscheiden sich die Typen durch die Art der Ausbreitung von Störungen in der Lösung. Diese Klassifizierung ist allerdings nicht mehr eindeutig, es gibt also partielle Differentialgleichungen, die einen gemischten Charakter haben. Als Beispiel für die Einteilung in elliptisch, parabolisch und hyperbolisch sei eine partielle Differentialgleichung der Ordnung 2 in 2 Variablen herangezogen:

$a(x,y)\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u(x,y)\}\{\backslash partial\; x^2\}\; +\; b(x,y)\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u(x,y)\}\{\backslash partial\; x\; \backslash partial\; y\}\; +\; c(x,y)\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u(x,y)\}\{\backslash partial\; y^2\}\; +\; d(x,y)\; \backslash frac\{\backslash partial\; u(x,y)\}\{\backslash partial\; y\}\; =\; 0$

Bei der Einteilung werden immer nur die Koeffizienten der höchsten Ableitungen (hier 2. Ordnung) in der Gleichung betrachtet:

Wenn $a(x,y)\; c(x,y)\; -\; b(x,y)^2/4\; >\; 0$ ist die Gleichung in (x,y) elliptisch

Wenn $a(x,y)\; c(x,y)\; -\; b(x,y)^2/4\; =\; 0$ ist die Gleichung in (x,y) parabolisch

Wenn ist die Gleichung in (x,y) hyperbolisch

Diese Unterscheidung kann man auch darauf zurückführen, ob die Matrix (a(x,y) b(x,y)/2; b(x,y)/2 c(x,y) ) positiv definit (⇒elliptisch), positiv semidefinit, aber nicht definit(singulär) (⇒parabolisch), oder indefinit (mit genau einem negativen Eigenwert) (⇒hyperbolisch) ist. Da a,b und c von x und y abhängen hängt der Typ der Differentialgleichung vom Ort ab.Für mehr als drei Veränderliche ist diese Einteilung nicht mehr vollständig, d.h. man kann z.B im $\backslash mathbb\{R\}^4$ leicht Beispiele konstruieren die nicht elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch sind.

Rand- und Anfangswertprobleme

Eine partielle Differentialgleichung hat per se im Allgemeinen mehrere Lösungen. Um eine eindeutige Lösung zu bekommen braucht es gewisse Zusatzbedingungen, nämlich Rand- und/oder Anfangsbedingungen. Diese Situation ist ähnlich wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen, wo man Anfangsbedingungen in einem Punkt braucht. Bei PDEs reicht die Vorgabe eines Funktionswertes an einem Punkt nicht aus, man muss Funktionswerte (und/oder Ableitungen) auf einer Mannigfaltigkeit vorgeben.

Nicht jede Zusatzbedingung führt zu einer vernünftigen Lösung, das Ganze hängt von der Art der Gleichung ab. Typische Beispiele sind

• Dirichlet-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
• Neumann-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
• Anfangs- und Randbedingungen (für parabolische Probleme)
• Cauchy-Probleme (für hyperbolische Probleme)

Elliptische partielle Differentialgleichungen

Diese treten typischerweise in Zusammenhang mit zeitunabhängigen (stationären) Problemen auf. Ein weiteres Kennzeichen ist, dass elliptische Gleichungen oftmals einen Zustand minimaler Energie beschreiben, also von Variationsproblemen her kommen. Das Paradebeispiel ist die Laplace-Gleichung, bzw die Poisson-Gleichung. Diese Gleichungen beschreiben etwa die (stationäre) Temperaturverteilung in einem Körper, oder auch die elektrostatische Ladungsverteilung in einem Körper. Außerdem ist das (Newtonsche) Gravitationspotential eine Lösung der Poisson-Gleichung.

Bei elliptischen Gleichungen sind die am häufigsten auftretenden Randbedingungen entweder Dirichlet-Randbedingungen oder Neumann-Randbedingungen. Die erstere bedeutet, dass die Werte der gesuchten Funktion auf dem Rand vorgegeben sind, während die zweite eine Vorgabe der Normalenableitung der gesuchten Funktion ist. Am Beispiel der Temperaturverteilung soll der Unterschied klargemacht werden: Steckt man ein Objekt in Eiswasser, dann ist die Temperatur am Rand 0 Grad. Damit ist die Temperaturverteilung im Inneren die Lösung eines Dirichlet-Randwertproblems. Ein anderer Fall tritt auf, wenn man den Körper isoliert. Hier ist zwar nicht die Temperatur bekannt, aber durch Isolation ist der Wärmefluß am Rand 0. Da der Fluss mit der Normalableitung in Verbindung gebracht werden kann, führt dies auf ein Neumann-Problem. Ähnliches gilt in der Elektrostatik: Kennt man die Spannung die am Rand angelegt wird, kommt man zu einem Dirichlet-Problem, kennt man hingegen die Stromstärke am Rand kommt man zu einem Neumann-Problem.

Eine nichtlineare Gleichung, die elliptisch ist, ist die Gleichung für Minimalflächen (Minimal surface equation), diese beschreibt eine Seifenhaut, die sich bildet, wenn man ein Drahtgestell in Seifenlauge taucht.

Parabolische partielle Differentialgleichungen

Dieser Typ von Gleichungen beschreibt ähnliche Phänomene wie elliptische Gleichungen, aber im instationären Fall. Das bei weitem wichtigste Beispiel einer parabolischen Gleichung ist die Wärmeleitungsgleichung, die das Abkühlen und Aufheizen eines Körpers beschreibt. Diffusionsprozesse werden ebenfalls durch diese Gleichung beschreiben. Parabolische Gleichungen führen auf ein Anfangs-Randwertproblem. Beispielsweise müssen bei der Wärmeleitungsgleichung am (räumlichen) Rand des Gebietes für alle Zeiten entweder die Temperatur oder der Temperaturfluß vorgegeben werden. Dies entspricht dem Fall von Dirichlet- oder Neumannbedingungen im elliptischen Fall. Zusätzlich muss noch die Temperaturverteilung am Anfang (zum Zeitpunkt 0) vorgegeben werden. Insgesamt benötigen also parabolische Gleichungen Bedingung am räumlichen Rand und zum Anfangszeitpunkt. Ein weiterer (nichtlinearer) Vertreter von parabolischen Gleichungen ist die Korteweg-de Vries-Gleichung, die Wasserwellen in Ufernähe beschreibt.

Hyperbolische partielle Differentialgleichungen

Die typische hyperbolische Gleichung ist die Wellengleichung. Allgemein werden durch diese Art von Gleichungen Wellen und deren Ausbreitung beschrieben. Außerdem sind Gleichungen erster Ordnung immer hyperbolische. Im Unterschied zu parabolischen und elliptischen Gleichung werden Lösungen von hyperbolischen Gleichungen wenig bis gar nicht gedämpft. Das führt einerseits dazu, dass die Lösungstheorie schwieriger wird, da mit weniger Differenzierbarkeit gerechnet werden kann. Auf der anderen Seite können sich Wellen erst durch diese fehlende Dämpfung über weite Strecken ausbreiten.

Die zu diesem Typ gehörigen Anfangs- und Randwerte führen auf Cauchy-Probleme: Das bedeutet, dass wie im parabolischen Fall zusätzlich zu räumlichen Randbedingungen Anfangswerte benötigt werden. Bei hyperbolischen Gleichungen zweiter Ordnung benötigt man aber zwei Anfangswerte: Den Funktionswert und die zeitliche Ableitung desselben am Anfang. Am Beispiel einer eingespannten Saite soll dies verdeutlicht werden: Die Auslenkung der Saite erfüllt die Wellengleichung. Wenn die Saite an den Enden eingespannt ist, führt dies auf die räumlichen Randbedingungen, in diesem Fall ist die Auslenkung am Rand 0 (weil eingespannt), damit ist der Funktionswert am Rand bekannt und es ergeben sich Dirichlet-Randbedingungen. (Im Fall von frei schwingenden Objekten, wie in Holzblasinstrumenten kommt man dementsprechen auf Neumannbedingungen). Zusätzlich müssen jetzt noch zwei Anfangsbedingungen vorgegeben werden: Die Auslenkung (entspricht dem Funktionswert) am Anfang, und die Geschwindigkeit mit der die Saite am Anfang angezupft wird (entspricht der zeitlichen Ableitung). Mit diesem Bedingungen kann die Auslenkung zu allen späteren Zeitpunkten eindeutig gelöst werden.

Hyperbolische Gleichungen mit paarweise verschiedenen Eigenwerten heißen strikt hyperbolisch. Hier ist die Lösungstheorie auch für nichtlineare Systeme wohlbekannt, ist die Gleichung nichtstrikt hyperbolisch, wie beispielsweise die mehrdimensionalen Euler-Gleichungen oder die Gleichungen der Magneto-Hydrodynamik, ist dies nicht mehr der Fall.

Theorie

---

Wichtige Sätze:

• Satz von Cauchy-Kovalevskaja
• Satz von Holmgren
• Lemma von Lax-Milgram
• Maximumprinzip
• Schaudertheorie
• Dirichlet Prinzip

Numerische Verfahren für partielle Differentialgleichungen

---

Die meist benutzten Verfahren sind die Methode der finiten Elemente (FEM), der finiten Differenzen (FDM) und der finiten Volumen.

In den letzten Jahren wird auch verstärkt die Randelement-Methode (REM oder engl. BEM) benutzt.

Beispiele

---

• Navier-Stokes-Gleichungen
• Maxwellsche Gleichungen
• Schrödingergleichung
• Einsteinsche Feldgleichungen
• Biharmonische Gleichung
• Geodynamo

Gleichungen in denen neben partiellen Ableitungen auch Integrale auftreten nennt man Integro-Differentialgleichung.

Partielle Differentialgleichungen

Equació diferencial en derivades parcials | Partial differential equation | Ecuación en derivadas parciales | Équation aux dérivées partielles | משוואה דיפרנציאלית חלקית | Equazione differenziale alle derivate parziali | 偏微分方程式 | 편미분 방정식 | Partiële differentiaalvergelijking | Równanie różniczkowe cząstkowe | Дифференциальное уравнение в частных производных | Partiell differentialekvation | 偏微分方程