Parabel (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Parabel (v. griech.: παραβολή parabole = das Daneben-Gehende; der Vergleich, v. altgriech.: paraballein = nebeneinanderstellen) ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet, die parallel zu einer Erzeugenden des Kegels ist. (Wenn die Ebene selbst eine Tangentialebene des Kegels ist, erhält man eine degenerierte Parabel, die einfach eine Gerade ist.)

Außerdem stellen die Funktionsgraphen von quadratischen Funktionen Parabeln dar.

Darstellungsformen

Neben der Definition als Kegelschnitt gibt es noch weitere Möglichkeiten eine Parabel festzulegen:

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte X, deren Abstand zu einem festen Punkt (dem Brennpunkt F) und einer Geraden (der Leitgeraden l) gleich ist.

\operatorname{par} = \left\{X |\overline{XF} = \overline{Xl}\right\}

Jener Punkt, der genau in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitel A der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel wird Achse der Parabel genannt. Sie ist auch die einzige Symmetrieachse.

parabel.png

Das Koordinatensystem wird im Folgenden so festgelegt, dass $A=(0,0)$ und $F=(0,f)$ . Für jeden Punkt $P=(x,y)$ auf der Parabel gilt dann $\overline{PF}=\overline{PQ}$ und damit

\sqrt{(y-f)^2+x^2}=y+f

Hieraus folgt unmittelbar der funktionale Zusammenhang zwischen

x

und

y

für alle Punkte

P

y=x^2 \frac{1}{4f}

Jede quadratische Funktion der Form

y=ax^2

ist somit eine Parabel mit dem Brennpunkt

f=\frac{1}{4a}

Eigenschaften

Da die Parabel nur von einem Parameter abhängig ist (dem Abstand von Leitgerade und Brennpunkt $2f$ bzw. dem Parameter $a$ in der Gleichung), sind alle Parabeln zueinander ähnlich. Die Unterschiede in der Krümmung entstehen nur durch das Vergrößerungsverhältnis. Insbesondere ist die numerische Exzentrizität ε = 1 und die lineare Exzentrizität oder Brennweite $e = a$ .

Parabeln können als Grenzfall einer Ellipse oder einer Hyperbel angesehen werden, wenn ein Brennpunkt fix ist und der andere beliebig weit in die eine oder andere Richtung entfernt wird.

Wird ein Strahl, der parallel zur Achse einfällt, an der Parabel gespiegelt, so geht der resultierende Strahl durch den Brennpunkt, und umgekehrt. Die Geraden durch den Punkt der Parabel und den Brennpunkt nennen wir dann Brennlinie, Leitstrahl, oder Brennstrahl des Punktes. Diese Eigenschaft hat auch ein Rotationsparaboloid, also die Fläche, die entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Achse dreht; sie wird häufig in der Technik verwendet (siehe Parabolspiegel).

Beweis:

Die Steigung der Tangente an die Parabel $ax^2$ im Punkt $P(x,y)$ ergibt sich zu:

$m = 2ax$

Die Nullstellen der Tangenten $t$ erhält man mit Hilfe der allgemeinen Geradengleichung über:

$t: y' = mx' + l$

Für die Tangente durch einen beliebigen Punkt $P(x,ax^2)$ der Parabel gilt:

$l = y' - mx' = ax^2 - (2ax)x = -ax^2$

und damit für die Tangentengleichung:

$t: y' = (2ax)x' - ax^2$

Die Nullstelle G(g,0) der Tangente (für $a\not\neq{}0, x\not\neq{}0$ ) lautet somit:

$0 = (2ax)x' - ax^2 \Leftrightarrow{} x' = \frac{x}{2}$

Also der Punkt $G=(\frac{x}{2},0)$ . Dieser liegt also genau in der Mitte zwischen $F$ und $Q=(x,-f)$ . Damit wird das gleichschenkliche Dreieck $\Delta FPQ$ in 2 kongruente Dreiecke zerlegt. Die Reflexion an der Parabel entspricht der Reflexion an der Tangente.

Der Einfallswinkel

\angle GPQ

ist gleich dem Ausfallswinkel

\angle FPG

. Damit treffen alle Strahlen auf

F

Jedes Teilchen, das sich in einem gleichförmigen Gravitationsfeld ohne Einwirkung anderer Kräfte bewegt (zum Beispiel ein Baseball, wenn man den Luftwiderstand ignoriert), folgt einer parabelförmigen Bahn (Wurfparabel). In radialsymmetrischen Gravitationsfeldern, wie sie idealerweise um einen Himmelskörper herrschen, ist die Parabel ein der Lösungen einer Keplerbahn.

Parabeln als Funktionsgraphen

Manchmal werden alle Graphen von Polynomfunktionen als Parabeln bezeichnet. Zum Beispiel ist der Graph eines Polynoms von Grad 4 eine Parabel 4. Ordnung. Mit der Definition der Parabel als Kegelschnitt stimmen nur Parabeln zweiter Ordnung, also f(x) = ax²+bx+c'', überein.

Besondere Parabeln

Im Gebäude der Fakultät für Mathematik und Informatik an der Technischen Universität München wurde in der Magistrale eine Parabelrutsche installiert. Diese Rutsche besteht aus zwei Teilen und zeigt die Form einer Parabel.

Siehe auch

Weblinks

http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html Mathworld - Parabel (engl.)
http://home.telebel.de/~kuweber/Parabel/Parabel.html Animierte Parabel (Java-Applet erzeugt mit Geogebra)