berührt die Spezialgebiete

• Mathematik
  • Lineare Algebra
  • Geometrie
  • Analysis
    • Funktionalanalysis

hat die Eigenschaften von

• topologischer Raum
  • parakompakter Hausdorff-Raum
    • metrischer Raum
• Vektorraum
  • topologischer Vektorraum

umfasst als Spezialfälle

• Innenproduktraum
  • Euklidischer Raum
    • reelle Zahlen
  • Unitärer Raum
    • komplexe Zahlen
• Banachraum
  • Hilbertraum

normierter Raum

Dieser Artikel erklärt neben den gleichbedeutenden Begriffen normierter Raum und normierter Vektorraum per Weiterleitung auch die Begriffe Norm (Mathematik), Vektornorm, Halbnorm, Operatornorm, Matrixnorm, Frobeniusnorm.

Der mathematische Begriff der Norm ist die Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge eines Vektors. Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Element eines Vektorraums eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet und eine Reihe weiterer Eigenschaften (unter anderem die Dreiecksungleichung) erfüllt. Der Vektorraum, auf dem die Norm definiert ist, wird dann normierter Raum oder auch normierter Vektorraum genannt.

Dieser Normbegriff unterscheidet sich wesentlich vom Begriff der Norm in der Körpertheorie, er wird daher manchmal auch Vektornorm im Gegensatz zur Körpernorm genannt.

Formale Definition

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Spezialfall reelle und komplexe Vektorräume

Sei V ein Vektorraum über dem Körper $\backslash Bbb\; K$ der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Funktion $\backslash |\backslash cdot\backslash |:\; V\backslash to\backslash R\_\{\backslash geq\; 0\}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf V, wenn für alle Vektoren $x,y\backslash in\; V$ und alle Skalare $\backslash alpha\backslash in\backslash Bbb\; K$ die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

1. $\backslash |x\backslash |\; =\; 0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; x\; =\; 0$ (Definitheit);
2. $\backslash |\backslash alpha\backslash cdot\; x\backslash |\; =\; |\backslash alpha|\backslash cdot\backslash |x\backslash |$ (Homogenität);
3. $\backslash |x\; +\; y\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; +\; \backslash |y\backslash |$ (die Dreiecksungleichung).

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum.

Allgemeiner Fall

Den Begriff einer Norm kann man wesentlich allgemeiner betrachten, indem man den Vektorraum V allgemeiner durch einen Modul M ersetzt:

Sei $M$ ein $R$-(Links)-Modul über einem unitären Ring mit Betrag $(R,\; |\backslash cdot|)$. Eine Funktion $\backslash |\backslash cdot\backslash |:\; M\backslash to\backslash R\_\{\backslash geq\; 0\}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf M, wenn für alle $x,y\backslash in\; M$ und alle Skalare $\backslash alpha\backslash in\; R$ die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

1. $\backslash |x\backslash |\; =\; 0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; x\; =\; 0$ (Definitheit);
2. $\backslash |\backslash alpha\backslash cdot\; x\backslash |\; =\; |\backslash alpha|\backslash cdot\backslash |x\backslash |$ (Homogenität);
3. $\backslash |x\; +\; y\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; +\; \backslash |y\backslash |$ (die Dreiecksungleichung).

Bemerkungen

• Wenn auf die Definitheit (Bedingung 1.) verzichtet wird, dann ist $\backslash |\backslash cdot\backslash |$ nur eine Halbnorm. Aus einem Raum mit Halbnorm erhält man einen normierten Raum als Faktorraum. Dazu werden Elemente $x$ und $y$ miteinander indentifiziert, die $\backslash |x-y\backslash |=0$ erfüllen.
• Aus der Homogenität folgt $\backslash |0\backslash |=0$ (d.h. in 1. gilt sogar $\backslash Leftrightarrow$) und $\backslash |\{-x\}\backslash |=\backslash |x\backslash |$.
• Wenn im Grundring R der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird (d.h. die Multiplikativität von $|\backslash cdot|$ zur Submultiplikativität abgeschwächt wird) und im Modul M die Homogenität von $\backslash |\backslash cdot\backslash |$ zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man den Begriff der Pseudonorm. Subhomogenität bedeutet, dass $\backslash |\backslash alpha\backslash cdot\; x\backslash |\; \backslash leq\; |\backslash alpha|\backslash cdot\backslash |x\backslash |$ für alle Vektoren $x$ und jeden Skalar $\backslash alpha$ gilt.

Einordnung

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Jede Norm induziert durch

$d(x,y)\; :=\; \backslash |x-y\backslash |$

eine Metrik. Damit ist jeder normierte Raum auch ein metrischer Raum, und damit wiederum auch ein topologischer Raum und ein Hausdorff-Raum.

Eine Norm kann, muss aber nicht durch ein inneres Produkt (Skalarprodukt) $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle$ definiert sein. Jeder Innenproduktraum ist mit

$\backslash |x\backslash |:=\backslash sqrt\{\backslash langle\; x,x\backslash rangle\}$

ein normierter Raum.

Ein normierter Raum heißt vollständig, wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergiert (das schließt ein, dass der Grenzwert der Cauchyfolge sich in diesem Raum befindet). Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum, und ein vollständiger normierter Innenproduktraum heißt Hilbertraum.

Äquivalenz von Normen

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Zwei Normen $N\_1$ und $N\_2$ heißen äquivalent, wenn es positive Konstanten $c\_1,c\_2$ mit

$c\_1\; N\_2(x)\backslash leq\; N\_1(x)\backslash leq\; c\_2\; N\_2(x)$ für alle $x$

gibt. Äquivalente Normen induzieren dieselbe Topologie.

Auf dem $\backslash R^n$ sind alle Normen äquivalent.

Betragsnormen

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Normen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen) sind die absoluten Beträge.

Vektornormen

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p-Normen

Für endlichdimensionale Räume $\backslash Bbb\; K^n$ sind die so genannten p-Normen definiert als:

$$

\|x\|_p := \Big(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\Big)^{1/p}

$$

\|x\|_\infty := \max_{i=1}^n |x_i|

Dabei ist $p\backslash geq\; 1$ eine reelle Zahl und $|x\_i|$ der Absolutbetrag der i-ten Koordinate des Vektors $x$. Die aus diesen Normen abgeleiteten Metriken heißen auch Minkowski-Metriken. Für p < 1 können so keine Normen definiert werden, da dann die Dreiecksungleichung verletzt ist.

Spezialfälle

• Die 1-Norm $\backslash |x\backslash |\_1\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; |x\_i|$

heißt auch Betragssummennorm; die von ihr abgeleitete Metrik heißt speziell im zweidimensionalen Raum $\backslash R^2$ auch Taxi- oder Manhattan-Metrik (da sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke in einem Schachbrett-Stadtplan misst).

• Die 2-Norm $\backslash |x\backslash |\_2\; =\; \backslash sqrt\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; |x\_i|^2\}$

heißt auch Euklidische Norm; ein mit der 2-Norm versehener Vektorraum wird ein Euklidischer Raum genannt. Im $\backslash R^2$ und $\backslash R^3$ beschreibt die euklidische Norm die anschauliche Länge eines Vektors und führt über die induzierte euklidische Metrik zu dem uns gewohnten Abstandsbegriff. Die Menge aller auf 1 normierten Vektoren bildet im $\backslash R^2$ den Einheitskreis, im $\backslash R^3$ die Einheitskugel und allgemein im $\backslash R^n$ die n-dimensionale Einheitssphäre.

• Die $\backslash infty$-Norm $\backslash |x\backslash |\_\{\backslash infty\}\; =\; \backslash max\_\{i=1\}^n\; |x\_i|$ heißt auch Maximumnorm oder Tschebyschew-Norm.

Veranschaulichung im Zweidimensionalen

Zur Veranschaulichung betrachten wir zweidimensionale Vektoren $x\backslash in\backslash R^2$. Die Menge aller auf 1 normierten Vektoren $\backslash left\backslash \{x\backslash in\backslash R^2:\backslash |x\backslash |=1\backslash right\backslash \}$ bildet einen verallgemeinerten Einheitskreis. Mit den Normen zu p=1, p=2 und p=∞ ergeben sich in einem kartesischen Koordinatensystem die Graphen:

p = 1 Norm.einheitskreis.infty.gif

p = 2 Norm.einheitskreis.2.gif

p = ∞ Norm.einheitskreis.1.gif

l^p-Normen

Die „$\backslash ell^p$-Normen“ sind eine Verallgemeinerung der p-Normen auf spezielle unendlichdimensionale Vektorräume.

Wir gehen zunächst von der Menge $\backslash R^\{\backslash Bbb\; N\}$ aller reellen Zahlenfolgen aus. Dabei wollen wir die Null als zu $\backslash Bbb\; N$ gehörend ansehen. Für eine reelle Zahl p ≥ 1 bzw. das Symbol p = ∞ betrachten wir die Teilmenge

aller „in p-ter Potenz summierbaren Folgen“ bzw. aller beschränkten Folgen. Die so erklärten Teilmengen $\backslash ell^p$ sind $\backslash R$-Vektorräume, auf denen man die so genannte l^p-Norm wie folgt definiert:

$\backslash |(a\_n)\backslash |\_p\; :=\; \backslash sqrt*\{\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; |a\_n|^p\}$

$\backslash |(a\_n)\backslash |\_\backslash infty\; :=\; \backslash sup\_\{n\backslash in\backslash mathbb\{N\}\}\; |a\_n|$

Versehen mit diesen Normen werden die Vektorräume $\backslash ell^p$ zu vollständigen normierten Räumen.

L^p-Normen

Die Definition der L^p-Räume und -Normen wird hier nur kurz angerissen, ausführlichere Informationen dazu im Artikel L^p-Raum.

Analog zu den Folgenräumen kann man den Vektorraum der Funktionen vom Type $f:\backslash R\; \backslash rightarrow\; \backslash R$ betrachten, und darin die "in p-ter Potenz integrierbaren Funktionen" herausgreifen, für die man so genannte L^p-Normen definiert. Das ist jedoch zunächst nur eine Halbnorm, da $\backslash |f\backslash |\; =\; 0$ nicht ausschließlich für die Nullfunktion gilt. Man geht deshalb über zu einem Faktorraum (den man L^p nennt), auf dem die L^p-Halbnorm dann eine Norm ist.

Operatornormen

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Für einen linearen Operator $f:V\backslash rightarrow\; W$ wird seine Operatornorm (anschaulich der größtmögliche Streckungsfaktor) bezüglich einer Vektornorm folgendermaßen definiert:

$\backslash |f\backslash |\; =\; \backslash sup\_\{x\; \backslash in\; V\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\}\; \backslash frac\{\backslash |f(x)\backslash |\_W\}\{\backslash |x\backslash |\_V\}$

Matrixnormen

Eine Matrixnorm $\backslash |\backslash ,\{\backslash cdot\}\backslash ,\backslash |\_M$ heißt induziert von einer Vektornorm $\backslash |\backslash ,\{\backslash cdot\}\backslash ,\backslash |\_V$, falls gilt:

$\backslash |A\backslash |\_M\; =\; \backslash sup\_\{x\backslash not\; =\; 0\}\backslash frac\{\backslash |Ax\backslash |\_V\}\{\backslash |x\backslash |\_V\}$.

Für reelle oder komplexe Matrizen $A$ kann man die Operatornormen der entsprechenden linearen Abbildungen für einige Vektornormen (hier die 1, 2 und Maximumsnorm) explizit angeben.

Spaltensummennorm

\left\ > A \right\

-

Spektralnorm

\left\ > A \right\

-

Zeilensummennorm

\left\ > A \right\

Matrixnormen haben einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer Matrix (der betragsgrößte Eigenwert) immer kleiner als oder gleich ihrer Norm, unabhängig davon, welche Norm gewählt wurde. Sie werden insbesondere in der numerischen Mathematik benutzt. Zusätzlich zu den oben genannten Normaxiomen erfüllen Matrixnormen immer die multiplikative Dreiecksungleichung:

$\backslash |A\; \backslash cdot\; B\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |A\backslash |\backslash |B\backslash |$.

Es ist möglich, Abbildungen auf dem Matrizenraum zu definieren, die die Normeigenschaften sowie die multiplikative Dreiecksungleichung erfüllen, jedoch nicht eine von einer Vektornorm herrührende Operatornorm sind. Die bekannteste von diesen ist die Frobeniusnorm:

$\backslash |A\backslash |\_\; =\; \backslash sqrt\{\backslash sum\_\{i,j\}|a\_\{ij\}|^\{2\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(A^H\; A\; \backslash right)\}=\; \backslash sqrt\{\backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash lambda\_j\; \backslash left(A^H\; A\; \backslash right)\}$,

wobei $\backslash operatorname\{tr\}(A^H\; A)$ die Spur (englisch trace) von $A^H\; A$ bezeichnet und $\backslash lambda\_j$ die Eigenwerte von $A^H\; A$ sind.

Eine Vektornorm $\backslash |x\backslash |$ und eine Matrixnorm $\backslash |A\backslash |$ heißen verträglich wenn gilt:

$\backslash |Ax\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |A\backslash |\backslash cdot\; \backslash |x\backslash |$

Offensichtlich ist die von einer Vektornorm induzierte Matrixnorm mit dieser Vektornorm verträglich.

Einige verträgliche Normen:

Vektornorm

Matrixnormen

-

Betragssummennorm (p=1)

Spaltensummennorm Gesamtnorm

-

Euklid. Norm (p=2)

Frobeniusnorm Gesamtnorm Spektralnorm

-

Maximumsnorm (p=∞)

Gesamtnorm Zeilensummennorm

Hierbei ist die Gesamtnorm wie folgt definiert:

$\backslash |A\backslash |=n\; \backslash cdot\; \backslash max\_\{i,j\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\}|a\_\{ij\}|$

Weitere Matrixnormen sind die Ky-Fan-Normen.

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