Die negative Binomialverteilung (auch Pascal-Verteilung) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die negative Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um in einem Bernoulli-Prozess eine vorgegebene Anzahl von Erfolgen zu erzielen. Sie ist ein Speziallfall der Panjer-Verteilung.

Neben der Poisson-Verteilung ist die negative Binomialverteilung die wichtigste Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik. Dort wird sie insbesondere als Schadenzahlverteilung in der Krankenversicherung benutzt, seltener im Bereich Kraftfahrzeug-Haftpflicht oder Kasko.

Herleitung der negativen Binomialverteilung

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Man kann diese Verteilung mit Hilfe des Urnenmodells mit Zurücklegen beschreiben: In einer Urne befinden sich zwei Sorten Kugeln (dichotome Grundgesamtheit). Der Anteil der Kugeln erster Sorte beträgt $p$. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel erster Sorte gezogen wird, beträgt also $p$.

Es wird nun so lange eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt, bis erstmalig genau $r$ Kugeln erster Sorte resultieren. Man kann eine Zufallsvariable $X$: "Zahl der Versuche, bis erstmals $r$ Erfolge resultieren" definieren. Da $r$ vorgegeben ist, variiert man die Zahl $n$ der Versuche und erhält als Ausprägungen von $X$ die Menge $\{r;\; r\; +\; 1;\; ...\; n,\; ...\}$. $X$ hat abzählbar unendlich viele Ausprägungen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass $P(X\; =\; n)$ Versuche nötig waren, um $r$ Erfolge zu erzielen, also $P(X\; =\; n)$, berechnet nach folgender Überlegung:

Es sollen zum jetzigen Zeitpunkt bereits $n\; -\; 1$ Versuche stattgefunden haben. Es wurden insgesamt $r\; -\; 1$ Kugeln erster Sorte gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird durch die Binomialverteilung der Zufallsvariablen $Y$: "Zahl der Kugeln erster Sorte bei $n\; -\; 1$ Versuchen" angegeben:

$\backslash operatorname\{P\}(Y\; =\; r-1)\; =\; p^\{r-1\}(1-p)^\{n-1-(r-1)\}\; .$

Die Wahrscheinlichkeit, dass nun eine weitere Kugel erster Sorte gezogen wird, ist dann

$\backslash operatorname\{P\}(X\; =\; n)=\backslash operatorname\{P\}(Y\; =\; r-1)\; \backslash cdot\; p\; ,$.

Eine Zufallsvariable heißt damit negativ binomialverteilt $BN(r,p)$ mit den Parametern $r$ (Anzahl der erfolgreichen Versuche) und $p$ (Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Erfolges im Einzelversuch), wenn sich für sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$\backslash operatorname\{P\}(X\; =\; n)=\; p^r(1-p)^\{n-r\}\; ,$

angeben lässt.

Alternative Definition

Eine diskrete Zufallsgröße $X$ unterliegt der negativen Binomialverteilung $NB(r,p)$ mit den Parametern $r$ und $p$, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

$\backslash operatorname\{P\}(X=k)=\{k+r-1\backslash choose\; k\}p^\{r\}(1-p)^\{k\}=$ bzw.

$\backslash operatorname\{VarK\}(X)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{r(1-p)\}\}$ in der alternativen Darstellung.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu:

$\backslash operatorname\{v\}(X)\; =\; \backslash frac\{2-p\}\{\backslash sqrt\{r(1-p)\}\}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\backslash phi\_\{X\}(s)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{1-(1-p)e^\{is\}\}\backslash right)^\{s\}$ mit .

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende Funktion erhält man.

$g\_\{X\}(s)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{1-(1-p)e^\{s\}\}\backslash right)^\{s\}$ mit

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der negativen Binomialverteilung ist

$m\_\{X\}(s)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{1-(1-p)s\}\backslash right)^\{s\}$ mit .

Beziehungen zu anderen Verteilungen

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Beziehung zur geometrischen Verteilung

Die negative Binomialverteilung geht für $r=1$ in die $Geometrische\; Verteilung$ über. Mit anderen Worten, die Summe $k$ identischer, unabhängiger, geometrisch verteilter Zufallsgrößen mit demselben Parameter $p$, ist negativ-binomialverteilt mit den Parametern $p$ und $k$.

Beispiele

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Bei wievielen Skatspielen gewinnt Paula das 10. Spiel?

NegBV.png

Die Studentin Paula spielt heute Abend Skat. Aus langer Erfahrung weiß sie, dass sie bei jedem 5. Spiel gewinnt. Gewinnen ist folgendermaßen definiert: Sie muss zunächst ein Spiel durch Reizen bekommen, dann muss sie dieses Spiel gewinnen.

Da sie morgen um acht Uhr Statistik-Vorlesung hat, soll der Abend nicht zu lang werden. Deshalb hat sie beschlossen, nach dem 10. gewonnenen Spiel nach Hause zu gehen. Nehmen wir an, dass ein Spiel etwa 4 Minuten dauert (großzügig gerechnet). Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann sie nach zwei Stunden nach Hause gehen, also nach 30 Spielen?

Wir gehen mit unseren Überlegungen analog zu oben vor:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie in 29 Spielen 9 mal gewonnen? Wir berechnen diese Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung, in Begriffen des Urnenmodells bei 29 Versuchen und 9 Kugeln erster Sorte:

$P(Y=9)=\{29\; \backslash choose\; 9\}0,2^9\; \backslash cdot\; 0,8^\{20\}=0,0591.$

Die Wahrscheinlichkeit, den 10. Gewinn beim 30. Spiel zu machen, ist nun

$P(X=30)=0,0591\; \backslash cdot\; 0,2=0,0118.$

NegBVFx.png

Diese Wahrscheinlichkeit scheint nun sehr klein zu sein. Die Grafik der negativ binomialverteilten Zufallsvariablen X zeigt, dass insgesamt die Wahrscheinlichkeiten sehr klein bleiben. Wie soll da das arme Ding Paula jemals ins Bett kommen? Wir können sie beruhigen: Es genügt ja, danach zu fragen, wie viel Versuche Paula höchstens braucht, es müssen ja nicht genau 30 sein.

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 30 Versuche nötig sind, ist die Verteilungsfunktion F(x) der negativen Binomialverteilung an der Stelle x=30, was hier die Summe der Wahrscheinlichkeiten P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=30) ergibt. Ein Blick auf die Grafik der Verteilungsfunktion zeigt: Wenn Paula mit einer 50%igen Wahrscheinlichkeit zufrieden ist, müsste sie höchstens ca. 50 Spiele absolvieren, das wären 50*4min = 200 min = 3h 20 min. Um mit einer 80%igen Wahrscheinlichkeit ihre 10 Gewinne zu bekommen, müsste sie höchstens ca. 70 Spiele spielen, also knapp 5 Stunden. Vielleicht sollte Paula doch ihre Strategie der Spielezahl ändern.

Weblinks

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• www.hutschdorf.de/... - Interaktive Animation erstellt mit Macromedia Flash

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Negative binomial distribution | Distribución binomial negativa | Negatiivinen binomijakauma | Variabile casuale Binomiale Negativa | Sebaran binomial négatip