Der metrische Tensor (auch Metriktensor oder Maßtensor) dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.

Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind.

Für die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über inneres Produkt und Norm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

Definition und Bedeutung

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Der metrische Tensor g ist ein kovarianter Tensor zweiter Stufe über einem reellen Vektorraum V,

g : V × V → R.

Damit man √g(x,x) als Länge des Vektors x deuten kann, ist zu fordern, dass g mindestens positiv semidefinit ist: Für alle x≠0 aus V muss

g(x,x) ≥ 0

gelten. In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen Metrik und Pseudometrik wird manchmal sogar gefordert, dass der metrische Tensor positiv definit sein muss (dann wird in der vorstehenden Bedingung g≥0 zu g>0); ein Tensor g, der nur semidefinit ist, heißt dann genauer pseudometrischer Tensor.

Wenn ein lokales Koordinatensystem xⁱ gewählt wird, schreibt man die Komponenten von g als g_ij. Unter Verwendung der Einsteinschen Summationskonvention ist dann

g(x,x) = g_ijxⁱx^j.

Die Länge eines Kurvensegments, dessen Punkte x(t) durch t∈^* parametrisiert sind, wird mit Hilfe des metrischen Tensors als

$L\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash sqrt\{\; g\_\{ij\}\{dx^i\backslash over\; dt\}\{dx^j\backslash over\; dt\}\}dt$

berechnet; der Winkel θ zwischen zwei Tangentialvektoren $\backslash mathbf\{u\}=u^i\{\backslash partial\backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}$ und $\backslash mathbf\{v\}=v^i\{\backslash partial\backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}$ ist gegeben durch

$\backslash cos\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{g\_\{ij\}u^iv^j\}\; \{\backslash sqrt\{\; \backslash left|\; g\_\{ij\}u^iu^j\; \backslash right|\; \backslash left|\; g\_\{ij\}v^iv^j\; \backslash right|\}\}.$

Beispiele

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Euklidischer Raum

In einem Euklidischen Raum mit Kartesischen Koordinaten ist der metrische Tensor durch die Einheitsmatrix gegeben,

g_ij = δ_ij.

Für die Kurvenlänge

$L\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash sqrt\{\; (d\backslash mathbf\{x\})^2\}$

und den Winkel

$\backslash cos\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{u\}\backslash mathbf\{v\}\}\; \{|\backslash mathbf\{u\}|\backslash cdot\; |\backslash mathbf\{v\}|\}$

erhält man die üblichen Formeln der Vektoranalysis.

Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen Euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der Jacobi-Matrix J der Einbettung als

$g\; =\; J^T\; J$.

In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor des Euklidischen Raums wie folgt:

• In Polarkoordinaten $(x^1,\; x^2)=(r,\; \backslash theta)$:

• In Zylinderkoordinaten $(x^1,\; x^2,\; x^3)=(r,\; \backslash theta,\; z)$:

• In Kugelkoordinaten $(x^1,\; x^2,\; x^3)=(r,\; \backslash theta,\; \backslash varphi)$:

Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie)

Hauptartikel: Minkowski-Raum

Der flache Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie beschreibt eine vierdimensionale Raum-Zeit ohne Gravitation. Räumliche Abstände und Zeitspannen hängen in diesem Raum von der Wahl eines Inertialsystems ab; wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt, können sie verschiedene Werte annehmen.

Invariant unter Lorentztransformationen ist hingegen der sogenannte Viererabstand, der räumliche und zeitliche Abstände zusammenfasst. Unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit c berechnet sich dieser Viererabstand aus räumlichem Abstand Δx und Zeitspanne Δt als

Δs²=-c²(Δt)²''+(Δx)².

Im Minkowski-Raum werden Orts- und Zeitkoordinaten als $(x^0,\; x^1,\; x^2,\; x^3)=(ct,x,y,z)$ zusammengefasst. Der metrische (genauer: pseudometrische) Tensor lautet in einer verbreiteten Konvention

.

Besonders wichtig ist der metrische Tensor in der Allgemeinen Relativitätstheorie: dort ist er ortsabhängig, je nach Stärke des Gravitationsfeldes.

Differentialgeometrie

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