Die logistische Verteilungsfunktion charakterisiert eine stetige eindimensionale Verteilung und ist eine funktionelle Darstellung von Sättigungsprozessen aus der Klasse der so genannten Sigmoidfunktionen mit unbegrenzter zeitlicher Ausdehnung.

Beschreibung

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Logistisch.png Die logistische Funktion, wie sie sich aus der diskreten logistischen Gleichung ergibt, beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden Zeit und einem Wachstum, beispielsweise einer idealen Bakterienpopulation. Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit dem Wachstum verbrauchende Ressource - die Idee dahinter ist also etwa ein Bakteriennährboden begrenzter Größe.

Für das Bakterienbeispiel gilt also:

• Der begrenzte Lebensraum bildete eine obere Schranke G für die Bakterienanzahl f(t).
• Das Bakterienwachstum f'(t) ist proportional zu:
  • dem aktuellen Bestand f(t)
  • und der noch vorhandenen Kapazität G - f(t)

Diese Entwicklung wird daher durch eine Differentialgleichung der Form

$f\text{'}(t)=k\; \backslash cdot\; f(t)\; \backslash left(\; G\; -\; f(t)\; \backslash right)$

beschrieben. Das Lösen dieser Differentialgleichung ergibt:

$f(t)=G\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{1+e^\{-kGt\}\backslash left(\backslash frac\{G\}\{f(0)\}\; -\; 1\backslash right)\}.$

Der Graph der Funktion beschreibt eine S-förmige Kurve, eine "Sigmoide". Am Anfang ist das Wachstum klein, da die Population und somit die Zahl der sich vermehrenden Individuen gering ist. In der Mitte der Entwicklung (genauer: im Wendepunkt) wächst die Population am stärksten, bis sie durch die sich erschöpfenden Ressourcen gebremst wird.

Die Logistische Gleichung beschreibt einen sehr häufig auftretenden Zusammenhang und findet weit über die Idee der Beschreibung einer Population von Lebewesen hinaus Anwendung. Auch der Lebenszyklus eines Produktes im Markt kann mit der Logistischen Funktion nachgebildet werden.

Lösung der Differentialgleichung

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$\backslash frac\{\backslash operatorname\{df\}\}\{\backslash operatorname\{dt\}\}=k\; \backslash cdot\; f(t)\; \backslash left(\; G\; -\; f(t)\; \backslash right)$

Die Differentialgleichung lässt sich mit dem Verfahren "Trennung der Variablen" lösen:

$\backslash int\backslash frac\{1\}\{f(t)\backslash left(\; G\; -\; f(t)\; \backslash right)\}\backslash operatorname\{df\}=\backslash int\; k\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{dt\}\; +\; C$

Die Partialbruchzerlegung der linken Gleichungsseite ergibt (für $G\backslash neq0$):

$\backslash int\; \backslash frac\{1\}\{f(t)\backslash left(\; G\; -\; f(t)\; \backslash right)\}\backslash operatorname\{df\}\; =\; \backslash int\backslash left+\; \backslash frac\{1\}\{G\; -\; f(t)\}\backslash right)\backslash right\backslash operatorname\{df\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{G\}~\backslash int\backslash left(\backslash frac\{1\}\{f(t)\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{G\; -\; f(t)\}\backslash right)\backslash operatorname\{df\}$

Die Ausgangsgleichung wird mit $\backslash ,G\backslash ,$ multipiziert und die Konstante $G\backslash cdot\; C$ als $\backslash ,D\backslash ,$ benannt:

$\backslash int\backslash left(\backslash frac\{1\}\{f(t)\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{G\; -\; f(t)\}\backslash right)\backslash operatorname\{df\}=\; G\; \backslash cdot\; k\; \backslash int\backslash operatorname\{dt\}\; +\; D$

Die Integrale auf beiden Seiten können gelöst werden:

$\backslash int\backslash left(\backslash frac\{1\}\{f(t)\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{G\; -\; f(t)\}\backslash right)\backslash operatorname\{df\}\; =\backslash ln\backslash left|f(t)\backslash right|\; -\; \backslash ln\backslash left|G\; -\; f(t)\backslash right|\; =\; \backslash ln\backslash left|\backslash frac\{f(t)\}\{G\; -\; f(t)\}\backslash right|\; =kGt\; +\; D$

Auf beiden Seiten die Exponentialfunktion anwenden und den Kehrwert bilden:

$\backslash frac\{G\; -\; f(t)\}\{f(t)\}=\backslash frac\{G\}\{f(t)\}-1=c\backslash cdot\; e^\{-kGt\}$

Hier kann man die Integrationskonstante $c\backslash ,$ in Abhängigkeit von $f(0)\backslash ,\backslash neq\backslash ,0$ ermitteln:

$\backslash frac\{G\}\{f(0)\}-1=c$

Zuletzt wird nach$\backslash ,f(t)\backslash ,$ aufgelöst und man hat im Fall $G\backslash neq0$ die obige Lösung.

Für $G\backslash ,=\backslash ,0$ und $k\backslash neq0$ erhält man mit der Integrationskonstante $c\backslash ,\backslash in\backslash ,\backslash mathbb\{R\}$ die Lösung $f(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{k\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{t\backslash ,-\backslash ,c\}$

Für $k=0\backslash ,$ erhält man die Lösung $f(t)=c\backslash ,$.

Literatur

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• Draper, Norman R. und Smith Harry: Applied Regression Analysis, Wiley-Interscience, 1998 ISBN 0471170828
• Volker Oppitz/Volker Nollau: Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung, Carl Hanser Verlag 2003, 400 S., ISBN 3446224637
• Volker Oppitz: Gabler Lexikon Wirtschaftlichkeitsberechnung, Gabler-Verlag 1995, 629 S., ISBN 3409199519
• Schönfeld, Peter: Methoden der Ökonometrie, Berlin, Frankfurt, 1969

Statistik

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