Eine logarithmische Spirale ist eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt, dem Pol, um den gleichen Faktor vergrößert. In umgekehrter Drehrichtung schlingt sich die Kurve mit abnehmendem Radius immer enger um den Pol. Jede Gerade durch den Pol schneidet die logarithmische Spirale stets unter dem gleichen Winkel. Wegen dieser Eigenschaft spricht man auch von einer gleichwinkligen Spirale.

Logarithmische_SpiraleP.png

Am leichtesten lässt sich eine logarithmische Spirale in Polarkoordinaten angeben:

$r(\backslash varphi)\; =\; a\; e^\{k\backslash varphi\}\; \backslash quad\; a,\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R$

In kartesischen Koordinaten ergibt sich:

$x(\backslash varphi)\; =\; a\; e^\{k\; \backslash varphi\}\; \backslash cos\{\backslash varphi\}$

$y(\backslash varphi)\; =\; a\; e^\{k\; \backslash varphi\}\; \backslash sin\{\backslash varphi\}$

In der komplexen Ebene lässt sich jede logarithmische Spirale sogar noch einfacher darstellen:

$w(t)\; =\; z^t\; \backslash quad\; z\; \backslash in\; \backslash mathbb\; C,\; t\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R,\; \backslash left|z\backslash right|\; \backslash ne\; 1,\; \backslash mathrm\{Im\}(z)\; \backslash ne\; 0$

denn

$z^t\; =\; e^\{t\backslash ln\; z\}\; =\; e^\{t\; \backslash left(\backslash ln\; |z|\; +\; i\backslash arg\; z\backslash right)\}\; =\; |z|^t\; e^\{it\backslash arg\; z\}\; =\; |z|^t\; \backslash left(\backslash cos\; \backslash left(t\backslash arg\; z\backslash right)\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash left(t\backslash arg\; z\backslash right)\backslash right)$

Goldene Spirale.png Die sogenannte Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale, die als Spezialität das Teilungsverhältnisses des Goldenen Schnittes, durch Verwendung von rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck, in sich trägt.

Goldener_Schnitt_Bluetenstand_Sonnenblume.jpg In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen mit diversen Steigungen, wie beispielsweise durch Wachstum entstandene Schneckenhäuser oder die Anordnung von Kernen in der Blüte einer Sonnenblume.

Die logarithmische Spirale hat eine Reihe einzigartiger Eigenschaften, weshalb sie von einem ihrer größten Liebhaber, Jakob Bernoulli, auch als spira mirabilis (wunderbare Spirale) bezeichnet wurde:

• alle durch den Pol gehenden Gerade schneiden die Kurve unter dem gleichen Winkel
• ein Kreis ($k\; =\; 0$) ist ein Spezialfall der Kurve mit Radius $a$ und einem Schnittwinkel von 90 Grad
• die Bogenlänge der Kurve von jedem Kurvenpunkt bis zum Pol ist endlich, obwohl unendlich viele Drehungen bis zum Erreichen des Pols benötigt werden
• die Kurve ist ihre eigene Evolute
• die Kurve ist ihre eigene Brennlinie (Kaustik)
• die Kurve ist ihre eigene Fußpunktkurve
• eine Inversion der Kurve ($r\; \backslash mapsto\; 1/r$) führt zu Drehung und Spiegelung der Kurve an der Y-Achse (für $a\; =\; 1$ nur zur Spiegelung); aus einer linksdrehenden logarithmischen Spirale wird eine rechtsdrehende und umgekehrt

Siehe auch: Liste geometrischer Kurven

Der Erzählung nach war es ein Wunsch Jakob Bernoullis, dass seine geliebte logarithmische Spirale mit der Inschrift "eadem mutata resurgo" ("Verwandelt kehr ich als dieselbe wieder") auf seinen Grabstein eingemeißelt werden sollte. Der zuständige Steinmetz meißelte nach dem Tod Bernoullis zwar eine Spirale auf dessen Grabstein, allerdings handelte es sich (vermutlich aus Unwissenheit oder um sich Arbeit zu sparen) um eine Archimedische Spirale, für die keine der genannten Eigenschaften zutrifft. Jakob Bernoulli hätte sich wohl im Grabe umgedreht, hätte er davon erfahren. Bernoullis Grabstein kann noch heute im Kreuzgang des Münsters zu Basel besichtigt werden.

Weblinks

• Mathworld

Geometrische Kurve

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