In der Physik heißt ein Kraftfeld $\backslash mathbf\; F=\backslash mathbf\; F(\backslash mathbf\; r)$ konservativ, wenn es nur vom Ort abhängig ist und eine der drei folgenden äquivalenten Eigenschaften besitzt.

• Es gibt ein skalares Feld $V(\backslash mathbf\; r)$, mit $\backslash mathbf\; F(\backslash mathbf\; r)=-\backslash nabla\; V(\; \backslash mathbf\; r)$, wobei $\backslash nabla$ der Gradient ist.

• Die Arbeit $W=\backslash int\_S\; \backslash mathbf\; F(\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r$ entlang eines beliebigen Weges S durch das Kraftfeld ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhäng. Insbesondere ist die Arbeit entlang einer geschlossenen Kurve C gleich Null.

• Für die Rotation gilt $\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; F(\backslash mathbf\; r)\; =\; 0$

Beispiele für konservative Kräfte sind die Grundkräfte der Physik. Aus diesem Grund kann man durch eine Erweiterung des betrachteten Systems (z B. wenn man bei der Berücksichtigung von Reibung auch die Energieinhalte eines angekoppelten Wärmereservoirs mitberücksichtigt) jedes physikalische Ereignis in einem konservativen System beschreiben.

Das Gegenteil einer konservativen Kraft ist die dissipative Kraft, die umso mehr Arbeit verrichtet, je länger der zurückgelegte Weg ist. Eine dissipative Kraft ist beispielsweise die Reibung. Die meisten physikalischen Systeme sind dissipativ, da Energie durch Reibung oder nicht-konservative Kraftfelder (Wirbelfelder) verloren geht.

Das skalare Feld V(r) aus dem ersten Kriterium heißt Potential oder potentielle Energie. Das Minuszeichen in diesem Kriterium ist reine Konvention und hat keine physikalische Bedeutung. Der Grund für diese Konvention kann man sich an folgendem Beispiel klar machen: In der Nähe der Erdoberfläche ist das Gravitationspotential einer Masse m in einer Höhe h unter der Erdbeschleunigung g näherungsweise V(r)= - m g h. Da Koordinatensysteme auf der Erdoberfläche meist nach oben positiv gezählt werden, muss die nach unten gerichtete Erdbeschleunigung negativ sein. Damit nun die potentielle Energie positiv herauskommt, schreibt man das Minuszeichen davor. Berechnet man anschließend die Kraft nach dem ersten Kriterium, heben sich die Minuszeichen auf und man erhält F = m g. Da g negativ ist, wirkt die Kraft also korrekt Richtung Erdmittelpunkt.

Beweis und Gleichheit der Kriterien

Konservativekaft_wege.jpg

Wie anfangs bereits festgestellt, sind die drei Kriterien für ein konservatives Kraftfeld gleichbedeutend. Das erste Kriterium ist gerade die Definition eines konservativen Kraftfeldes, die anderen beiden sind lediglich andere Formulierungen des ersten Kriteriums. Oftmals werden Kraftfelder dieser Art auch direkt durch das zweite Kriterium definiert. Davon ausgehend, dass die Arbeit in einem konservativen Kraftfeld wegunabhängig ist, kann zunächst die Korrektheit des zweiten Kriteriums gezeigt werden.

Man betrachte dazu einen geschlossenen Weg C in einem konservativen Kraftfeld, der wie im Bild rechts verläuft: Von Punkt 1 über Weg S1 zum Punkt 2, dann über den Weg S2 zurück zum Punkt 1.

Das Ringintegral über diesen Weg ergibt sich damit zu

$0=\backslash oint\_C\; \backslash mathbf\; F\; (\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r=\backslash int\_\{1,\; S1\}^\{2\}\; \backslash mathbf\; F\; (\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r\; +\backslash int\_\{2,\; -S2\}^\{1\}\; \backslash mathbf\; F\; (\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r$

Für alle möglichen Wege S1, S2 wäre das Integral über den Weg S1 + (-S2) nur gleich Null, wenn

$\backslash int\_\{1,\; S1\}^\{2\}\; \backslash mathbf\; F\; (\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r\; =\; -\; \backslash int\_\{2,\; -S2\}^\{1\}\; \backslash mathbf\; F\; (\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r\; =\backslash int\_\{1,\; S2\}^\{2\}\; \backslash mathbf\; F\; (\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r$

gilt. Also ist

$\backslash int\_\{1,\; S1\}^\{2\}\; \backslash mathbf\; F\; (\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r\; =\; \backslash int\_\{1,\; S2\}^\{2\}\; \backslash mathbf\; F\; (\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r$

was gerade der Wegunabhängigkeit und damit einer der möglichen Definitionen für ein konservatives Kraftfeld entspricht.

Das dritte Kriterium sagt aus, dass die Rotation des Kraftfeldes verschwindet. Da nach dem ersten Kriterium $\backslash mathbf\; \backslash mathbf\; F(\backslash mathbf\; r)=-\backslash nabla\; V(\backslash mathbf\; r)$ ist, gilt für die Rotation

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; F(\backslash mathbf\; r)\; =\; -\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; V(\backslash mathbf\; r)=\backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash times\; \backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; x\}\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; y\}\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; z\}\backslash end\{pmatrix\}\; =\backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; V\}\{\backslash partial\; y\; \backslash partial\; z\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; V\}\{\backslash partial\; z\; \backslash partial\; y\}\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{\backslash partial^2\; V\}\{\backslash partial\; z\; \backslash partial\; x\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; V\}\{\backslash partial\; x\; \backslash partial\; z\}\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{\backslash partial^2\; V\}\{\backslash partial\; x\; \backslash partial\; y\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; V\}\{\backslash partial\; y\; \backslash partial\; x\}\; \backslash end\{pmatrix\}\; =\; 0$

Wobei der letzte Schritt wegen der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen gemäß dem Satz von Schwarz zustande kam. Das erste und dritte Kriterium sind damit gleichbedeutend.

Hieraus folgt nun jedoch auch, dass diese gleichbedeutend zum zweiten Kriterium sind. Mit $\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; F(\backslash mathbf\; r)\; =\; 0$ ist, gilt nach dem Satz von Stokes für eine geschlossene Kurve C, die von einer Fläche A umschlossen wird

$0=\backslash iint\_A\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; F\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; A\; =\; \backslash oint\_C\; \backslash mathbf\; F\; \backslash mathrm\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r$.

Da hier die Arbeit wieder verschwindet, was nach dem ersten Beweis die Unabhängigkeit der betrachteten Wege bedeutet, folgt schließlich die Gleichheit aller drei Kriterien.

Energieerhaltung

In einem konservativen Kraftfeld ist die Gesamtenergie E = T + V eines Systems stets erhalten. Hierbei bezeichnet T die kinetische Energie mit $T=\; \backslash frac\{1\}\{2\}m\; \backslash mathbf\; v^2$

Mit dem zweiten Newtonschen Axiom $\backslash mathbf\; F=m\; \backslash dot\; \backslash mathbf\; v$ für konstante Massen m und der Arbeit $E\; =\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t^2\}\; \backslash mathbf\; Fr(t),\backslash mathbf\; v(t),t\backslash ,\; \backslash mathbf\; v(t)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; dt$, gilt für den Weg vom Punkt 1 zum Punkt 2

$\backslash int\_\{1,S1\}^\{2\}\; \backslash mathbf\; F\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r\; =\; m\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t^2\}\; \backslash dot\; \backslash mathbf\; v(t)\; \backslash mathbf\; v(t)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; t$

$=\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t^2\}\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; d\; t\}\; \backslash frac\{1\}\{2\}m\; \backslash mathbf\; v^2(t)\; \backslash mathrm\; d\; t\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}m\; \backslash mathbf\; v^2(t\_2)\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}m\; \backslash mathbf\; v^2(t\_1)\; =\; T(t\_2)\; -\; T(t\_1)=\; T\_2\; -\; T\_1$

Das bedeutet, dass die gesamte Arbeit, die bei der Bewegung aufgebracht wird, der Änderung der kinetischen Energie entspricht. Für konservative Kräfte gilt jedoch auch

$\backslash int\_\{1,S1\}^\{2\}\; \backslash mathbf\; F\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r\; =\; -\; \backslash int\_\{1,S1\}^\{2\}\; \backslash nabla\; V\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\; \backslash mathbf\; r\; =\; V(r\_2)\; -\; V(r\_1)\; =\; V\_2\; -\; V\_1$

und damit

$T\_2\; -\; T\_1\; =\; V\_2\; -\; V\_1\; \backslash Leftrightarrow\; T\_1\; +\; V\_1\; =\; T\_2\; +\; V\_2$

was gerade dem Energieerhaltungssatz entspricht. Die Eigenschaft der Energieerhaltung ist auch der Grund, weshalb konservative Kraftfelder ihren Namen erhielten. Der Begriff der Konservativität wird ebenfalls in einem erweiterten Zusammenhang verwendet, wenn nicht die Energie, sondern eine andere physikalische Größe, wie beispielsweise die Masse, erhalten bleibt (konservativer Massenübertrag).

Siehe auch

• Konservatives System

Mechanik

Conservative force | Force conservative | Forze conservative | Força conservativa | Konservativna sila