Keplersche Gesetze

Die Keplerschen Gesetze sind nach dem Astronomen Johannes Kepler benannt. Er hatte diese Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne entdeckt. Sie beschreiben die Lage und Form der Bahnkurve und die Dynamik der Planetenbewegung. Diese fundamentalen Eigenschaften gelten allgemein für die Umlaufbahnen mehrerer Trabanten um einen wesentlich schwereren Zentralkörper – zum Beispiel die Bewegungen der Monde um den Planeten Jupiter, aber auch des Mondes und künstlicher Satelitten um die Erde, oder der Fixsterne um das Galaktische Zentrum.

Kepler leitete diese Gesetze aufgrund der Beobachtungen von Tycho Brahe, insbesondere auf dessen vorzügliches Beobachtungsmaterial vom Planeten Mars, ab.

Die beiden ersten Gesetze (Ellipsensatz und Flächensatz) wurden 1609 in der Astronomia nova (Neue Astronomie) veröffentlicht, das dritte 1619 in den Harmonice mundi (Weltharmonik).

Erstes Keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

kepler-first-law-de.png Die Umlaufbahn eines Planeten ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Dieses Gesetz ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz, sofern die Masse des Zentralkörpers wesentlich größer als die der Trabanten ist und die Wechselwirkung der Trabaten untereinander vernachlässigt werden kann. Ferner macht sich vor allem beim Planeten Merkur eine kleine Abweichung in Folge der Relativitätstheorie bemerkbar. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung sind Kegelschnitte. Dies sind im Falle geschlossener Bahnen Ellipsen.

Ein Körper, der nicht gravitativ an das Sonnensystem gebunden ist, durchläuft es auf einer hyperbolischen Bahn und verlässt es anschließend wieder.

Zweites Keplersche Gesetz (Flächensatz)

kepler-second-law.png Die Verbindung zwischen Zentralkörper und Trabant überstreicht in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen.

Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit besagt, dass von einer gedachten Verbindungsline zwischen Zentralkörper, genauer dem Schwerpunkt der beiden Himmelskörper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche Fläche überstrichen wird. Ein Planet bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an der Sonne befindet, und umso langsamer, je weiter er von der Sonne entfernt ist.

Das Zentrum der Umlaufbahn ist hierbei der gemeinsame Schwerpunkt von Zentralstern und den Trabanten. Der Schwerpunkt der Planenten und der Sonne liegt jedoch noch innerhalb der Sonne: Die Sonne steht nicht fest in Bezug auf das Sonnensystem, sondern „eiert“ ein klein wenig unter dem Einfluss der umlaufenden Planeten. Andere Einflüsse, wie etwa die gegenseitige Anziehung (Schwerkraft) der einzelnen Planeten untereinander sind weitgehend vernachlässigbar und ergeben erst über Jahre merkliche Abweichungen. Nur für den sonnennächsten Merkur und damit dem Planeten mit der größten Geschwindigkeit führen verschiedene Störeinflüsse zu deutlich messbaren Abweichungen: der Merkur beschreibt eine Rosettenbahn (siehe hierzu auch: Periheldrehung).

In einer Sekunde überstreicht die Strecke Erde–Sonne eine Fläche von über 2 Milliarden km².

Physikalisch gesehen ist das Zweite Keplersche Gesetz ein Beispiel für den Drehimpulserhaltungssatz.

Drittes Keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten ( $T$ ) je zweier Planetenbahnen sind proportional zu den dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen ( $a$ ).

bzw.

Die Quadrate der Umlaufzeiten entsprechen den Kuben der großen Halbachsen.

\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^3

Kepler nannte die Bahnachsen a noch „mittlere Entfernung“ von der Sonne (im Sinne des Mittels zwischen Perihel und Aphel).

Obwohl die drei Gesetze die Planetenbewegung nur im Zweikörperproblem exakt beschreiben, sind sie generell eine gute Näherung für die Wirklichkeit.

Die geringen Abweichungen von den Keplerbahnen werden Bahnstörungen genannt. Sie kommen zustande durch die Gravitation der Planeten untereinander und durch ihre Abplattungen, durch die baryzentrische Bewegung der Sonne wegen der Anziehung der Planeten und durch relativistische Effekte. Letztere zeigen sich besonders in der Periheldrehung des Merkur. Methoden zur Berücksichtigung solcher Bahnstörungen bietet die Variation der Elemente mit dem Konzept der oskulierenden Umlaufbahnen.

Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Planeten im Rahmen des Dreikörperproblems, so lautet die exakte Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes:

\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^3 \frac{M+m_2}{M+m_1}

Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Planeten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralgestirn eine Masse M hat, die von der eines der beiden Planeten nicht sehr stark abweicht. Dennoch sind die Kepler-Gesetze, und die auf ihnen beruhenden jeweils 6 Bahnelemente, die Grundlage jeder Bahnbestimmung.

In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält man unmittelbar die Umlaufzeit T eines Planeten um die Sonne:

T = \sqrt{\frac{a^3 4 \pi^2}{G(M+m)}}

mit:

G: Gravitationskonstante

a: große Halbachse

M: Sonnenmasse

m: Planetenmasse (vernachlässigbar gegenüber M)

Beispiel Erde: $T = \sqrt{\frac{(1{,}496\cdot10^{11}~{\rm m})^3\cdot 4\cdot 3{,}141^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} \cdot 1{,}99 \cdot 10^{30}~{\rm kg}}} = 3{,}156\cdot10^7~{\rm s} \approx 365{,}2~{\rm Tage}$

Siehe auch

Weblinks

Physik | Erkenntnis in der Geschichte der Astronomie | Himmelsmechanik

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Erstes Keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

Zweites Keplersche Gesetz (Flächensatz)

Drittes Keplersches Gesetz

Siehe auch

Weblinks