In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein irreduzibles Polynom ein nichtkonstantes Polynom, das sich nicht als Produkt zweier nichtkonstanter Polynome schreiben lässt.

Definition

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Es sei $K$ ein Körper. Dann heißt ein Polynom irreduzibel, wenn es keine nichtkonstanten Polynome $f,g\backslash in\; K[X\_1,\backslash ldots,X\_n$ gibt, so dass $p=f\backslash cdot\; g$ gilt.

Eine äquivalente Beschreibung lautet: Irreduzible Polynome sind genau die irreduziblen Elemente im Ring $K*$.

Ist allgemeiner $L$ ein Erweiterungskörper von $K$, so heißt ein Polynom aus irreduzibel über $L$, wenn es als Polynom über $L$ (d.h. als Element des Polynomrings $L[X\_1,\backslash ldots,X\_n$) irreduzibel ist.

Polynome in einer Unbestimmten

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Polynome kleinen Grades

• Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel.

• Ein Polynom vom Grad 2 oder 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle hat.

• Hat ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1. Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper Grad 1.

• Jedes irreduzible Polynom über den reellen Zahlen hat Grad 1 oder 2.

Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein

Es sei $A$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $K$. Ist $p$ ein Primelement und

$f\; =\; a\_nX^n+a\_\{n-1\}X^\{n-1\}+\backslash ldots+a\_1X+a\_0\backslash in\; A*$

ein Polynom über $A$ mit

• $p\backslash nmid\; a\_n$
• $p\backslash mid\; a\_i$ für $i=0,1,2,\backslash ldots,n-1$
• $p^2\backslash nmid\; a\_0$

so ist $f$ irreduzibel über $K$.

Damit ist zum Beispiel für eine Primzahl $p$ das Polynom $X^n-p$ für $n\backslash in\backslash mathbb\{N\}$, $n\backslash geq\; 1$, irreduzibel über $\backslash mathbb\{Q\}$. Das Minimalpolynom von $\backslash sqrt*\{p\}$ über $\backslash mathbb\{Q\}$ ist also $X^n-p$. Als Folgerung ergibt sich, dass die Quadratwurzel aus $2$ eine irrationale Zahl ist.

Algebra

Irreducible polynomial | Polinomio irreducible | Factorisation des polynômes | פולינום אי פריק | Wielomian nierozkładalny