Geosynchrone Umlaufbahn

Geostat.gif Die Umlaufbahn eines Satelliten heißt geosynchron, wenn seine Umlaufzeit um die Erde der Rotationsdauer der Erde um ihre eigene Achse (23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = 1 siderischer Tag) entspricht.

Geosynchrone Umlaufbahnen können stark elliptisch sein und müssen nicht parallel zum Äquator verlaufen.

Der Spezialfall einer geosychronen Umlaufbahn, die keine Exzentrizität hat, also kreisförmig ist, und genau parallel über dem Äquator verläuft, heißt geostationär. Ihre Höhe über dem Äquator beträgt 35.786 Kilometer, die Bahngeschwindigkeit 3074,689 Meter pro Sekunde.

Von der Erde aus betrachtet scheint ein geostationärer Satellit am Himmel still zu stehen, da sich der Beobachter auf der Erde mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit bewegt wie der Satellit. Deswegen wird diese Umlaufbahn häufig für Fernseh- und Kommunikationssatelliten verwendet, da die Antennen auf dem Boden fest auf einen bestimmten Punkt ausgerichtet werden können.

Im 1928 erschienenen Buch Das Problem der Befahrung des Weltraums – der Raketenmotor von Herman Potočnik findet sich die erste Veröffentlichung dieser Idee.

Formeln

Um einen Körper der Masse $m$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ zu halten, ist eine Zentripetalkraft der Stärke

F_1 = m \omega^2 r

erforderlich. Auf einer Kreisbahn um einen Planeten herum, ist die Schwerkraft (näherungsweise) die einzig wirkende Kraft. Im Abstand $r$ – vom Mittelpunkt des Planeten ausgehend – kann sie mit der Formel

F_2 = \frac{G M m}{r^2}

berechnet werden. Dabei bezeichnet $G$ die Gravitationskonstante und $M$ die Masse des Planeten.

Da die Schwerkraft also die einzige Kraft ist die den Körper auf der Kreisbahn hält, muss ihr Wert der Zentripetalkraft entsprechen. Es gilt also:

F_1 = F_2

Es ergibt sich durch einsetzen:

m \omega^2 r = \frac{G M m}{r^2}

Auflösen nach $r$ ergibt

r = \sqrt

^*{G \frac{M}{\omega^2}}

Die Kreisfrequenz $\omega$ ergibt sich aus der Umdrehungsdauer $t$ als

\omega = \frac {2 \pi}{t}

Einsetzen in die Formel für $r$ ergibt

r = \sqrt

^*{\frac{G}{4 \pi^2} M t^2}

Diese Formel bestimmt nun den Radius der geostationären Umlaufbahn eines Massenschwerpunktes vom Mittelpunkt des betrachteten Planeten ausgehend. Um die Entfernung der Bahn von der Oberfläche des Planeten – also beispielsweise die Höhe eines geostationären Satelliten – zu erhalten, muss der Radius vom Ergebnis subtrahiert werden. Somit haben wir einfach

h = \sqrt

^*{\frac{G}{4 \pi^2} M t^2} - R_P

wobei $R_P$ den Radius des Planeten bezeichnet.

Für einen geostationären Mond oder ein anderes Objekt, welches selbst eine gewisse Ausdehnung besitzt, ist die obige Formel die selbe; um jedoch den Abstand von der Oberfläche eines Planeten zu der Oberfläche eines solchen Mondes zu erhalten, muss zusätzlich zu dem Radius des Planeten noch der Radius des Mondes subtrahiert werden. Ganz allgemein gilt also

h = \sqrt

^*{\frac{G}{4 \pi^2} M t^2} - (R_P+R_M)

wobei $R_M$ den Radius des Mondes bezeichnet.

Berechnung

Aus

\begin{matrix}

G = 6{,}674\cdot10^{-11}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} \\ \pi \approx 3{,}1416 \end{matrix}

ergibt sich

\frac{G}{4 \pi^2} \approx 1{,}691\cdot10^{-12}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}

Die Formel lautet also

r \approx \sqrt

^*{1{,}691\cdot10^{-12}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}\quad M t^2}

oder

r \approx 1{,}191\cdot10^{-4}\ \sqrt^*{1\ \mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}\quad M t^2}

Für die Erde mit der ungefähren Erdmasse $M$ = 5,9736 · 10²⁴ kg und der Rotationsdauer, also näherungsweise 23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = (23 · 60 + 56) · 60 + 4,09 Sekunden = 86164,09 Sekunden gilt:

r \approx 1{,}191 \cdot 10^{-4}\ \sqrt^*{ 1\ \mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} \quad 5{,}9736 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg} \ (86164{,}09\ \mathrm{s})^2 }

\approx 42157\ \mathrm{km}

vom Erdmittelpunkt. Abzüglich des Erdradiuses $r\approx 6371\ \mathrm{km}$ also $h\approx 35786\ \mathrm{km}$ von der Erdoberfläche entfernt.

Geschichte

Im Jahr 1945 schlug der Science Fiction Autor Arthur C. Clarke vor, Satelliten auf einer geostationären Umlaufbahn zu positionieren. Mit 3 Satelliten, jeweils um 120° versetzt, wäre eine Radiokommunikation weltweit möglich. Er nahm an, dass innerhalb der nächsten 25 Jahre Satelliten dort positioniert werden könnten.

Das Bild rechts zeigt das Diagramm, in dem Clarke seine Überlegungen in der Zeitschrift Wireless World zum ersten Mal der Öffentlichkeit vorstellte http://lakdiva.org/clarke/1945ww/ .

Siehe auch

Quellen

Raumfahrtphysik

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Formeln

Berechnung

Geschichte

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